Question

【題目】過(guò)直線上的點(diǎn)作橢圓的切線，切點(diǎn)分別為，聯(lián)結(jié)．

（1）當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)；

（2）當(dāng)時(shí)，定點(diǎn)平分線段．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

設(shè)．則橢圓過(guò)點(diǎn)的切線方程分別為．因?yàn)閮汕芯�都過(guò)點(diǎn)，所以，．

這表明點(diǎn)均在直線①

上．由兩點(diǎn)決定一條直線知，式①就是直線的方程，其中滿足直線的方程．

（1）當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可理解為取遍一切實(shí)數(shù)，相應(yīng)的為．代

入式①消去得②

對(duì)一切恒成立．

變形可得對(duì)一切恒成立．

則．由此得直線恒過(guò)定點(diǎn)．

（2）當(dāng)時(shí)，由式②知．解得．

代入式②得的方程為③

將此方程與橢圓方程聯(lián)立，消去得．

由此得截橢圓所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)恰好為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即．

代入式③可得弦中點(diǎn)縱坐標(biāo)恰好為點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即．

這就是說(shuō)，點(diǎn)平分線段．