Question

已知函數(shù)f（x）=

1+a•2x

2x+b

是奇函數(shù)，并且函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，3）．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在x＜0時(shí)的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意和奇函數(shù)的性質(zhì)可得：f（1）=3、f（-1）=-3，列出關(guān)于a、b的方程組，求出a、b的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出f（x）的解析式，由x＜0和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得：0＜2^x＜1，再求出函數(shù)f（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，3），
所以f（1）=3，即

1+2a

2+b

=3，①
因?yàn)閒（x）=

1+a•2x

2x+b

是奇函數(shù)，
所以f（-1）=-3，即

1+ 1 2 a

1 2 +b

=-3，②
由①②解得a=1，b=-1，
所以實(shí)數(shù)a，b的值為1、-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f(x)=

1+2x

2x-1

=1+

2

2x-1

，
又x＜0，則0＜2^x＜1，-1＜2^x-1＜0，
所以

2

2x-1

＜-2，即1+

2

2x-1

＜-1，
故函數(shù)f（x）在x＜0時(shí)的值域?yàn)椋?∞，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．