Question

【題目】如圖，四棱錐的底面為菱形，，底面，，E為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求三棱錐的體積；

（3）在側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)M，滿(mǎn)足平面，若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）存在，.

【解析】

（1）利用菱形的性質(zhì)，可得F為的中點(diǎn)，再利用三角形的中位線(xiàn)定理可得，利用線(xiàn)面平行的判定定理即可得出；

（2）由已知底面，可得為三棱錐的高，利用，以及三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出；

（3）利用三垂線(xiàn)定理可得，在平面內(nèi)，作，垂足為，求得的長(zhǎng)，即可知道點(diǎn)是否在線(xiàn)段上.

（1）設(shè)，相交于點(diǎn)F，連接，

∵四棱錐底面為菱形，

∴F為的中點(diǎn)，

又∵E為的中點(diǎn)，∴.

又∵平面，平面，

∴平面.

（2）∵底面為菱形，，

∴是邊長(zhǎng)為2的正三角形，

又∵底面，

∴為三棱錐的高，

∴.

（3）在側(cè)棱上存在一點(diǎn)M，滿(mǎn)足平面，證明如下：

∵四棱錐的底面為菱形，

∴，

∵平面，平面，

∴.

∵，∴平面，

∴.

在內(nèi)，可求，，

在平面內(nèi)，作，垂足為M，

設(shè)，則有，

解得.

連接，∵，，，平面，平面.

∴平面.

∴滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M存在，此時(shí)的長(zhǎng)為.