已知拋物線y=
1
8
x2與雙曲線
y2
a2
-x2=1（a＞0）有共同的焦點(diǎn)F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P在x軸上方且在雙曲線上，則
OP
•
FP
的最小值為（　　）
A、2
3
-3
B、3-2
3
C、
7
4
D、
3
4
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：求出拋物線的焦點(diǎn)，即有雙曲線的c=2，進(jìn)而得到雙曲線的方程，設(shè)P（m，n），（n≥
3
），則n2-3m2=3，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)整理成關(guān)于n的方程，再由二次函數(shù)的最值求法，即可得到最小值．
解答： 解：拋物線y=
1
8
x2的焦點(diǎn)F為（0，2），
則雙曲線
y2
a2
-x2=1的c=2，則a2=3，
即雙曲線方程為
y2
3
-x2=1，
設(shè)P（m，n），（n≥
3
），則n2-3m2=3，
則
OP
•
FP
=（m，n）•（m，n-2）=m2+n2-2n=
n2
3
-1+n2-2n
=
4n2
3
-2n-1=
4
3
（n-
3
4
）2-
7
4
，
由于區(qū)間[
3
，+∞）在n=
3
4
的右邊，則為增區(qū)間，
則當(dāng)n=
3
時(shí)，取得最小值，且為
4
3
×3-2
3
-1=3-2
3
．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查二次函數(shù)在區(qū)間上的最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，AB∥EF，AB=2EF=2，AE=AD=1，∠EAB=90°，平面ABFE⊥平面ABCD
（Ⅰ）若G為DF的中點(diǎn)，求BG的長，
（Ⅱ）若H是DC的中點(diǎn)，求二面角A-HF-B的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖為曲柄連桿結(jié)構(gòu)示意圖，當(dāng)曲柄 OA 在 OB 位置時(shí)，連桿端點(diǎn) P 在 Q 的位置，當(dāng) OA 自 OB 按順時(shí)針旋轉(zhuǎn) α 角時(shí)，P 和 Q 之間的距離為 x，已知 OA=25cm，AP=125cm，若 OA⊥AP，則 x 等于
 
（精確到0.1cm）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，菱形ABCD的邊長為2，對(duì)角線交于點(diǎn)O，DE⊥平面ABCD；
（Ⅰ）求證：AC⊥BE；
（Ⅱ）若∠ADC=120°，DE=2，BE上一點(diǎn)F滿足OF∥DE，求直線AF與平面BCE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，離心率為
2
2
，橢圓與x軸左交點(diǎn)與點(diǎn)F的距離為
2
-1．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，當(dāng)△OAB面積為
2
2
時(shí)，求|AB|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
2x+a
2x-a
，a∈R．
（1）若a=2，探究函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（2）根據(jù)a的不同取值，討論函數(shù)y=f（x）的奇偶性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
-x2+
4
x
，x＞0
0，x=0
x2+
4
x
，x＜0
，若f（t）+f（t+2）＞0，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　�。�
A、t＜-3-
3
或t＞-3+
3
B、t＞-1
C、t＜1-
3
或t＞1+
3
D、t＜-2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義域在（-∞，0）∪（0，+∞）上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)a，b滿足f（ab）=f（a）+f（b）．
（1）求f（1）與f（-1）的值；
（2）判斷并證明y=f（x）的奇偶性；
（3）若函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，求不等式f（x-1）≤0的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=
1
3
x3-x-5，x∈R的單調(diào)遞減區(qū)間是
 
．

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