Question

已知函數(shù)f（x）是定義域在（-∞，0）∪（0，+∞）上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意非零實數(shù)a，b滿足f（ab）=f（a）+f（b）．
（1）求f（1）與f（-1）的值；
（2）判斷并證明y=f（x）的奇偶性；
（3）若函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，求不等式f（x-1）≤0的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)條件中的恒等式，可對a、b進(jìn)行賦值，令a=b=1，求出f（1）的值，令a=b=-1，求出f（-1）的值；
（2）根據(jù)f（-1）=0，令b=-1，可得到f（-x）與f（x）的關(guān)系，根據(jù)奇偶性的定義可進(jìn)行判定．
（3）由（2）可知 函數(shù)為偶函數(shù)，因為函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，由f（x-1）≤0=f（-1），得到|x-1|≤1且x-1≠0，解之即可．

解答： 解：（1）令a=b=1，得f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，
令a=b=-1，得f（1）=f（-1）+f（-1），
∴f（-1）=0，
綜上，f（1）=0，f（-1）=0，
（2）f（x）為偶函數(shù)．
證明：∵f（ab）=f（a）+f（b），∴f（xy）=f（x）+f（y），
令y=-1，由f（xy）=f（x）+f（y），得f（-x）=f（x）+f（-1），
又f（-1）=0，
∴f（-x）=f（x），
又∵f（x）不恒為0，
∴f（x）為偶函數(shù)．
（3）由（2）可知 函數(shù)為偶函數(shù)，因為函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
由f（x-1）≤0=f（1），所以|x-1|≤1且x-1≠0，解得0≤x≤2且x≠1，
所以不等式f（x-1）≤0的解集為{x|0≤x≤2，且x≠1}．

點(diǎn)評：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及函數(shù)奇偶性的判斷，對于抽象函數(shù)問題，賦值法是常用的方法，屬于基礎(chǔ)題．