Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosC+

1

2

c=b．
（1）求角A的大��；  
（2）若a=1，面積S_△ABC=

3

，求b+c的值．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，根據(jù)sinC不為0求出cosA的值，即可確定出A的度數(shù)；
（2）由sinA，以及三角形的面積，利用面積公式求出bc的值，再利用余弦定理列出關(guān)系式，將a，bc與cosA的值代入，即可求出b+c的值．

解答： 解：（1）由acosC+

1

2

c=b，利用正弦定理化簡得：sinAcosC+

1

2

sinC=sinB，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴

1

2

sinC=cosAsinC，
∵sinC≠0，
∴cosA=

1

2

，
又∵0＜A＜π，
∴A=

π

3

；
（2）∵sinA=

3

2

，S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc，
∴bc=4，
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得：b²+c²=bc+1=5，
∴（b+c）²=b²+c²+2bc=13，
∴b+c=

13

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．