Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：當(dāng)n∈（

(k-1)k

2

，

k(k+1)

2

]（n，k∈N^*）時(shí)，a_n=（-1）^k+1•k，S_n是數(shù)列{a_n} 的前n項(xiàng)和，定義集合T_n={n|S_n是a_n的整數(shù)倍，n，m∈N^*，且1≤n≤m}，Card（A）表示集合A中元素的個(gè)數(shù)，則Card（T₁₅）=

 

，Card（T₂₀₁₄）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷,數(shù)列的求和,歸納推理

專(zhuān)題：新定義

分析：（1）本題先根據(jù)條件對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行研究，再推導(dǎo)出前n項(xiàng)和，通過(guò)前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的整除關(guān)系，得到結(jié)論；（2）根據(jù)題中定義，歸納得到奇數(shù)組對(duì)應(yīng)的n符合條件，從而得到本題的答案．

解答： 解：（1）取k=1，區(qū)間(

(k-1)k

2

，

k(k+1)

2

]即為（0，1]，1∈（0，1]，故a₁=1，
取k=2，區(qū)間(

(k-1)k

2

，

k(k+1)

2

]即為（1，3]，2，3∈（1，3]，故a₂=-2，a₃=-2，
取k=3，區(qū)間(

(k-1)k

2

，

k(k+1)

2

]即為（3，6]，4，5，6∈（3，6]，故a₄=3，a₅=3，a₆=3，
取k=4，區(qū)間(

(k-1)k

2

，

k(k+1)

2

]即為（6，10]，7，8，9，10∈（6，10]，故a₇=-4，a₈=-4，a₉=-4，a₁₀=-4，
取k=5，區(qū)間(

(k-1)k

2

，

k(k+1)

2

]即為（10，15]，11，12，13，14，15∈（10，15]，故a₁₁=5，a₁₂=5，a₁₃=5，a₁₄=5，a₁₅=5．
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=1，a₁=1，符合S_n是a_n的整數(shù)倍；
當(dāng)n=2時(shí)，S₂=1-2=-1，a₂=-2，不符合S_n是a_n的整數(shù)倍；
當(dāng)n=3時(shí)，S₃=-3，a₃=-2，不符合S_n是a_n的整數(shù)倍；
當(dāng)n=4時(shí)，S₄=0，a₄=3，符合S_n是a_n的整數(shù)倍；
當(dāng)n=5時(shí)，S₅=3，a₅=3，符合S_n是a_n的整數(shù)倍；
當(dāng)n=6時(shí)，S₆=6，a₆=6，符合S_n是a_n的整數(shù)倍；
當(dāng)n=7時(shí)，S₇=2，a₇=-4，不符合S_n是a_n的整數(shù)倍；
當(dāng)n=8時(shí)，S₈=-2，a₈=-4，不符合S_n是a_n的整數(shù)倍；
當(dāng)n=9時(shí)，S₉=-6，a₉=-4，不符合S_n是a_n的整數(shù)倍；
當(dāng)n=10時(shí)，S₁₀=-10，a₁₀=-4，不符合S_n是a_n的整數(shù)倍；
當(dāng)n=11時(shí)，S₁₁=-5，a₁₁=5，符合S_n是a_n的整數(shù)倍；
當(dāng)n=12時(shí)，S₁₂=0，a₁₂=5，符合S_n是a_n的整數(shù)倍；
當(dāng)n=14時(shí)，S₁₄=10，a₁₄=5，符合S_n是a_n的整數(shù)倍；
當(dāng)n=15時(shí)，S₁₅=15．a(chǎn)₁₅=5，符合S_n是a_n的整數(shù)倍．
符合條件的n有：1，4，5，6，11，12，13，14，15．共有9 個(gè)．
∵card（A）表示集合A中元素的個(gè)數(shù)，
∴card（T₁₅）=9．
（2）∵當(dāng)n∈（

(k-1)k

2

，

k(k+1)

2

]（n，k∈N^*）時(shí)，a_n=（-1）^k+1•
又∵

k(k+1)

2

-

(k-1)k

2

=k
∴數(shù)列{a_n}中，有連續(xù)k個(gè)（-1）^k+1•k，（k∈N^*），
可以進(jìn)行分組考察，即第1組，1個(gè)1；第2組，2個(gè)-2；第3組，3個(gè)3；第4組，4個(gè)-4；第5組，5個(gè)5；第6組，6個(gè)-6…
∵S_n是數(shù)列{a_n} 的前n項(xiàng)和，定義集合T_n={n|S_n是a_n的整數(shù)倍，n，m∈N^*，且1≤n≤m}，
∴其中符合條件的n有：1，4，5，6，11，12，13，14，15…
對(duì)應(yīng)的是奇數(shù)組：第1組，第3組，第5組…
∵2014=（1+2+3+…+62）+61，
∴符合條件的元素個(gè)數(shù)有：（1+3+5+7+…+61）+61=

(1+61)×31

2

+61=31×31+61=1022．
故答案為：（1）9；（2）1022．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的知識(shí)，還考查了新定義概念的應(yīng)用．難點(diǎn)是對(duì)新定義的準(zhǔn)確理解和運(yùn)用，還要能進(jìn)行歸納推理．本題的思維量和計(jì)算量較大，有難度，屬于難題．