精英家教網(wǎng)已知曲線C是到點(diǎn)P(-
1
2
,
3
8
)
和到直線y=-
5
8
距離相等的點(diǎn)的軌跡,l是過點(diǎn)Q(-1,0)的直線,M是C上(不在l上)的動(dòng)點(diǎn);A、B在l上,MA⊥l,MB⊥x軸(如圖).
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)求出直線l的方程,使得
|QB|2
|QA|
為常數(shù).
分析:(I)設(shè)N(x,y)為C上的點(diǎn),進(jìn)而可表示出|NP|,根據(jù)N到直線y=-
5
8
的距離和|NP|進(jìn)而可得曲線C的方程.
(II)先設(shè)M(x,
x2+x
2
)
,直線l:y=kx+k,進(jìn)而可得B點(diǎn)坐標(biāo),再分別表示出|QB|,|QM|,|MA|,最后根據(jù)|QA|2=|QM|2-|AM|2求得k.
解答:精英家教網(wǎng)解:(I)設(shè)N(x,y)為C上的點(diǎn),則|NP|=
(x+
1
2
)
2
+(y-
3
8
)
2
,
N到直線y=-
5
8
的距離為|y+
5
8
|

由題設(shè)得
(x+
1
2
)
2
+(y-
3
8
)
2
=|y+
5
8
|
,
化簡(jiǎn),得曲線C的方程為y=
1
2
(x2+x)


(II)設(shè)M(x,
x2+x
2
)
,直線l:y=kx+k,則B(x,kx+k),從而|QB|=
1+k2
|x+1|

在Rt△QMA中,因?yàn)?span id="2fhwzxs" class="MathJye">|QM | 2(x+1)2+(
x2+x
2
) 2=(x+1)2(1+
x2
4
)
|MA| 2=
(x+1)2(k-
x
2
)
2
1+k2

所以|QA|2=|QM|2-|AM|2=
(x+1)2
4(1+k2)
(kx+2)2
,
|QA|=
|x+1|•|kx+2|
2
1+k2

|QB|2
|QA|
=
2(1+k2)
1+k2
|k|
•|
x+1
x+
2
k
|

當(dāng)k=2時(shí),
|QB|2
|QA|
=5
5
,
從而所求直線l方程為2x-y+2=0.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查求曲線軌跡方程,兩條直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知曲線C是到點(diǎn)P()和到直線距離相等的點(diǎn)的軌跡。是過點(diǎn)Q(-1,0)的直線,M是C上(不在上)的動(dòng)點(diǎn);A、B在上,軸(如圖)。

    (Ⅰ)求曲線C的方程;

(Ⅱ)求出直線的方程,使得為常數(shù)。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(浙江卷理20文22)已知曲線C是到點(diǎn)P(-,)和到直線y=-距離相等的點(diǎn)的軌跡.L是過點(diǎn)Q(-1,0)的直線,MC上(不在l上)的動(dòng)點(diǎn); A、Bl上,MAl,MBx軸(如圖).

(Ⅰ)求曲線C的方程;

(Ⅱ)求出直線l的方程,使得為常數(shù)

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(浙江卷理20文22)已知曲線C是到點(diǎn)P(-,)和到直線y=-距離相等的點(diǎn)的軌跡.L是過點(diǎn)Q(-1,0)的直線,MC上(不在l上)的動(dòng)點(diǎn); A、Bl上,MAl,MBx軸(如圖).

(Ⅰ)求曲線C的方程;

(Ⅱ)求出直線l的方程,使得為常數(shù)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知曲線C是到點(diǎn)P(-,)和到直線y=-距離相等的點(diǎn)的軌跡.

L是過點(diǎn)Q(-1,0)的直線,M是C上(不在l上)的動(dòng)點(diǎn);A、B在l上,MAl,MBx軸(如圖).

(Ⅰ)求曲線C的方程;

(Ⅱ)求出直線l的方程,使得為常數(shù).

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