Question

如圖，底面是正三角形的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中點，AA₁=AB=2．
（Ⅰ）求證：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求的A₁到平面AB₁D的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）連接A₁B交AB₁于O，連接OD，可得OD∥A₁C，即可證明A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）利用VC-AB1D=VB1-ADC，求A₁到平面AB₁D的距離．

解答： （Ⅰ）證明：連接A₁B交AB₁于O，連接OD，
在△BA₁C中，O為BA₁中點，D為BC中點，
∴OD∥A₁C…（3分）
∵OD?面AB₁D，∴A₁C∥平面AB₁D…（6分）
（Ⅱ）解：由①可知A₁C∥平面AB₁D，
∴點A₁到平面AB₁D的距離等于點C到平面AB₁D的距離…（8分）
∵△AD₁B為Rt△，
∴S△ADB1=

15

2

S△ADC=

1

2

S△ABC=

3

2

…（10分）
設點C到面AB₁D的距離為h，則VC-AB1D=VB1-ADC即

1

3

×

15

2

•h=

1

3

×2×

3

2

解得h=

2 5

5

…（12分）

點評：本題考查線面平行，考查點C到面AB₁D的距離，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．