【題目】如圖所示，在邊長(zhǎng)為60 cm的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體箱子，箱底的邊長(zhǎng)是多少時(shí)，箱子的容積最大？最大容積是多少？

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

設(shè)箱子的底邊長(zhǎng)為x cm，則箱子高h＝cm.故其體積V(x)＝ (0<x<60)．V′(x)＝60x－x2＝0，據(jù)此結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定箱子容積的最大值即可.

設(shè)箱子的底邊長(zhǎng)為x cm，則箱子高h＝cm.

箱子容積V＝V(x)＝x2h＝ (0<x<60)．

求V(x)的導(dǎo)數(shù)，得V′(x)＝60x－x2＝0，

解得x1＝0(不合題意，舍去)，x2＝40.

當(dāng)x在(0,60)內(nèi)變化時(shí)，導(dǎo)數(shù)V′(x)的正負(fù)如下表：

x

(0,40)

40

(40,60)

V′(x)

＋

0

－

因此在x＝40處，函數(shù)V(x)取得極大值，并且這個(gè)極大值就是函數(shù)V(x)的最大值．

將x＝40代入V(x)得最大容積V＝402×＝16 000(cm3)．

所以箱子底邊長(zhǎng)取40 cm時(shí)，容積最大，最大容積為16 000 cm3.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓M：，設(shè)點(diǎn)B，C是直線l：上的兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別是t，，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為a且點(diǎn)P在線段BC上，過(guò)P點(diǎn)作圓M的切線PA，切點(diǎn)為A

若，，求直線PA的方程；

經(jīng)過(guò)A，P，M三點(diǎn)的圓的圓心是D，

將表示成a的函數(shù)，并寫出定義域．

求線段DO長(zhǎng)的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了解某班學(xué)生喜愛(ài)打籃球是否與性別有關(guān)，對(duì)本班50人進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：

喜愛(ài)打籃球

不喜愛(ài)打籃球

合計(jì)

男生

5

女生

10

合計(jì)

50

已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人抽到喜愛(ài)打籃球的學(xué)生的概率為．

（1）請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；

（2）是否有99%的把握認(rèn)為“喜愛(ài)打籃球與性別有關(guān)”？說(shuō)明你的理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法證明下列問(wèn)題

（1）設(shè)是公比為的等比數(shù)列且，證明數(shù)列不是等比數(shù)列.

（2）設(shè)為虛數(shù)單位，為正整數(shù)，，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．?dāng)?shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，一智能掃地機(jī)器人在處發(fā)現(xiàn)位于它正西方向的處和北偏東30°方向上的處分別有需要清掃的垃圾，紅外線感應(yīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)機(jī)器人到的距離比到的距離少0.4米，于是選擇沿路線清掃，已知智能掃地機(jī)器人的直線行走速度為0.2，忽略機(jī)器人吸入垃圾及在處旋轉(zhuǎn)所用時(shí)間，10秒鐘完成了清掃任務(wù)．

（1）、兩處垃圾的距離是多少？

（2）智能掃地機(jī)器人此次清掃行走路線的夾角的正弦值是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】隨著人口老齡化的到來(lái)，我國(guó)的勞動(dòng)力人口在不斷減少，“延遲退休”已經(jīng)成為人們?cè)絹?lái)越關(guān)注的話題，為了解公眾對(duì)“延遲退休”的態(tài)度，某校課外研究性學(xué)習(xí)小組在某社區(qū)隨機(jī)抽取了50人進(jìn)行調(diào)查，將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表：

年齡

[20,25)

[25,30)

[30,35)

[35,40)

[40,45)

人數(shù)

4

5

8

5

3

年齡

[45,50)

[50,55)

[55,60)

[60,65)

[65,70)

人數(shù)

6

7

3

5

4

經(jīng)調(diào)查年齡在［25,30),[55,60）的被調(diào)查者中贊成“延遲退休”的人數(shù)分別是3人和2人.現(xiàn)從這兩組的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取2人，進(jìn)行跟蹤調(diào)查．

（I）求年齡在［25,30）的被調(diào)查者中選取的2人都贊成“延遲退休”的概率；

（II）若選中的4人中，不贊成“延遲退休”的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2018年2月9-25日，第23屆冬奧會(huì)在韓國(guó)平昌舉行.4年后，第24屆冬奧會(huì)將在中國(guó)北京和張家口舉行.為了宣傳冬奧會(huì)，某大學(xué)在平昌冬奧會(huì)開(kāi)幕后的第二天，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了120名學(xué)生，對(duì)是否收看平昌冬奧會(huì)開(kāi)幕式情況進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：

收看

沒(méi)收看

男生

60

20

女生

20

20

(Ⅰ)根據(jù)上表說(shuō)明，能否有的把握認(rèn)為，收看開(kāi)幕式與性別有關(guān)？

(Ⅱ)現(xiàn)從參與問(wèn)卷調(diào)查且收看了開(kāi)幕式的學(xué)生中，采用按性別分層抽樣的方法選取8人，參加2022年北京冬奧會(huì)志愿者宣傳活動(dòng).

(ⅰ)問(wèn)男、女學(xué)生各選取多少人？

(ⅱ)若從這8人中隨機(jī)選取2人到校廣播站開(kāi)展冬奧會(huì)及冰雪項(xiàng)目宣傳介紹，求恰好選到一名男生一名女生的概率P.

附：，其中.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列中，．

(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(3)設(shè)，若對(duì)任意，有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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