Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，BA是⊙O的直徑，AD是切線(xiàn)，BF、BD是割線(xiàn)，
求證：BE•BF=BC•BD．

Answer 1

【答案】分析：證法一做出輔助線(xiàn)，根據(jù)兩條線(xiàn)平行，同位角相等，得到兩個(gè)角相等，在根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于弦切角，得到兩個(gè)三角形相似，得到對(duì)應(yīng)邊成比例．
證法二，做出輔助線(xiàn)，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是一個(gè)直角，根據(jù)射影定理得到AB²=BC•BD，AB²=BE•BF，根據(jù)等量代換得到結(jié)論．
解答：證明：
證法一：連接CE，過(guò)B作⊙O的切線(xiàn)BG，則BG∥AD
∴∠GBC=∠FDB，又∠GBC=∠CEB
∴∠CEB=∠FDB
又∠CBE是△BCE和△BDF的公共角
∴△BCE∽△BDF∴，
即BE•BF=BC•BD
證法二：連續(xù)AC、AE，∵AB是直徑，AC是切線(xiàn)
∴AB⊥AD，AC⊥BD，AE⊥BF
由射線(xiàn)定理有AB²=BC•BD，AB²=BE•BF
∴BE•BF=BC•BD
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面幾何的有關(guān)證明，是一個(gè)基礎(chǔ)題，這種題目解題的關(guān)鍵是看清要證明的四條線(xiàn)段之間的位置關(guān)系，得到結(jié)論．