Question

已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直l的參數(shù)方程是

x=1+tcosα y=tsinα

（t是參數(shù)）
（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=

14

，求直線的傾斜角α的值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：本題（1）可以利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo) 互化的化式，求出曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）先將直l的參數(shù)方程是

x=1+tcosα y=tsinα

（t是參數(shù)）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦長(zhǎng)，也可以直接利用直線的參數(shù)方程和圓的普通方程聯(lián)解，求出對(duì)應(yīng)的參數(shù)t₁，t₂的關(guān)系式，利用|AB|=|t₁-t₂|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范圍．

解答： 解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，
∴曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ可化為：
ρ²=4ρcosθ，
∴x²+y²=4x，
∴（x-2）²+y²=4．
（2）將

x=1+tcosα y=tsinα

代入圓的方程（x-2）²+y²=4得：
（tcosα-1）²+（tsinα）²=4，
化簡(jiǎn)得t²-2tcosα-3=0．
設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁、t₂，
則

t1+t2=2cosα t1t2=-3

，
∴|AB|=|t₁-t₂|=

(t1-t2)2-4t1t2

=

4cos2α+12

，
∵|AB|=

14

，
∴

4cos2α+12

=

14

．
∴cosα=±

2

2

．
∵α∈[0，π），
∴α=

π

4

或α=

3

4

π．
∴直線的傾斜角α=

π

4

或α=

3

4

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，參數(shù)方程與普通方程的互化，本題難度適中，屬于中檔題．