Question

如圖1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=

1

2

BC，E是底邊BC上的一點(diǎn)，且EC=3BE．現(xiàn)將△CDE沿DE折起到△C₁DE的位置，得到如圖2所示的四棱錐C₁-ABED，且C₁A=AB．
（1）求證：C₁A⊥平面ABED；
（2）若M是棱C₁E的中點(diǎn)，求直線BM與平面C₁DE所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)AD=AB=

1

2

BC=1，利用勾股定理的逆定理可以判斷C₁A⊥AD，C₁A⊥AE；
（2）由（1）知：C₁A⊥平面ABED；且AB⊥AD，分別以AB，AD，AC₁為x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，明確平面的法向量的坐標(biāo)和

BM

的坐標(biāo)，利用直線與平面的法向量的夾角的余弦值等于線面角的正弦值解答．

解答： 解：（1）設(shè)AD=AB=

1

2

BC=1，則C₁A=1，C₁D=

2

，
∴C1A2+AD2=C1D2，
∴C₁A⊥AD，…（2分）
又∵BE=

1

2

，C₁E=

3

2

∴AE²=AB²+BE²=

5

4

∴C1A2+AE2=

9

4

=C1E2
∴C₁A⊥AE …（4分）
又AD∩AE=E
∴C₁A⊥平面ABED； …（5分）
（2）由（1）知：C₁A⊥平面ABED；且AB⊥AD，分別以AB，AD，AC₁為x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，…（6分）
則B（1，0，0），C₁（0，0，1），E（1，

1

2

，0），D（0，1，0），
∵M(jìn)是C₁E的中點(diǎn)，
∴M（

1

2

，

1

4

，

1

2

），
∴

BM

=（-

1

2

，

1

4

，

1

2

），…（8分）
設(shè)平面C₁DE的法向量為

n

=（x，y，z），

DE

=(1，-

1

2

，0)，

DE

=(0，1，-1)     
由

n • DE =0 n • C1D =0

 即

x- 1 2 y=0 y-z=0

，令y=2，得

n

=（1，2，2）…（10分）
設(shè)直線BM與平面C₁DE所成角為θ，則sinθ=|

n • BM

| n || BM |

|=

4

9

∴直線BM與平面C₁DE所成角的正弦值為

4

9

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面垂直的判定定理的運(yùn)用以及利用空間向量解決線面角的問題，屬于中檔題．