Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=

an

an+2

（n∈N^*）．若bn+1=(n-2λ)•(

1

an

+1)（n∈N^*），b₁=-λ，且數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（　　）

• A、λ＞

  2

  3

• B、λ＞

  3

  2

• C、λ＜

  2

  3

• D、λ＜

  3

  2

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：由數(shù)列遞推式得到{

1

an

+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式后代入b_n+1=（n-2λ）•2ⁿ，由b₂＞b₁求得實(shí)數(shù)λ的取值范圍，驗(yàn)證滿足b_n+1=（n-2λ）•2ⁿ為增函數(shù)得答案．

解答： 解：由a_n+1=

an

an+2

得，

1

an+1

=

1

an

+1
則，

1

an+1

+1=2（

1

an

+1）
由a₁=1，得

1

a1

+1=2，
∴數(shù)列{

1

an

+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴

1

an

+1=2×2^n-1=2ⁿ，
由b_n+1=（n-2λ）•（

1

an

+1）=（n-2λ）•2ⁿ，
∵b₁=-λ，
b₂=（1-2λ）•2=2-4λ，
由b₂＞b₁，得2-4λ＞-λ，得λ＜

2

3

，
此時b_n+1=（n-2λ）•2ⁿ為增函數(shù)，滿足題意．
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（-∞，

2

3

）．
故選：C

點(diǎn)評：本題考查了變形利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法、單調(diào)遞增數(shù)列，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．