Question

對于n∈N^*，將n表示為n=a0×2k+a1×2k-1+a2×2k-2+…+ak-1×21+ak×20，當i=0時，a_i=1，當1≤i≤k時，a_i為0或1，記I（n）為上述表示中a_i為0的個數(shù)，例如：1=1×2⁰，4=1×2²+0×2¹+0×2⁰，故I（1）=0，Ⅰ（4）=2，則：
（1）Ⅰ（12）=

 

；  
  (2)

63

n=1

I(n)=

 

．

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：規(guī)律型

分析：（1）根據(jù)題意，分析可得，將n 表示n=a₀×2^k+a₁×2^k-1+a₂×2^k-2+…+a_k-1×2¹+a_k×2⁰，實際是將十進制的數(shù)轉化為二進制的數(shù)，易得12=1×2³+1×2²+0×2¹+0×2⁰，由I（n）的意義，可得答案；
（2）將n分為n=127，64≤n≤126，32≤n≤63，…n=1等7種情況，有組合數(shù)的性質，分析其中I（n）的取值情況，與二項式定理結合，可轉化為等比數(shù)列的前7項和，計算可得答案．

解答： 解：（1）根據(jù)題意，12=1×2³+1×2²+0×2¹+0×2⁰，則I（12）=2；
（2）63=1×2⁵+1×2⁴+1×2³+1×2²+1×2¹+1×2⁰，
設32≤n≤63，且n為整數(shù)；
則n=1×2⁵+a₁×2⁴+a₂×2³+a₃×2²+a₄×2¹+a₅×2⁰，
a₁，a₂，a₃，a₄，a₅中6個數(shù)都為0或1，
其中沒有一個為1時，有C₅⁰種情況，即有C₅⁰個I（n）=5；
其中有一個為1時，有C₅¹種情況，即有C₅¹個I（n）=4；
其中有2個為1時，有C₅²種情況，即有C₅²個I（n）=3；
…

63

n=32

I(n)=C₅⁰×5+C₅¹×4+C₅²×3+C₅³×2+C₅⁴×1+C₅⁵×0=80，
同理可得：

31

n=16

I(n)=32，

15

n=8

I(n)=12，

7

n=4

I(n)=4，

3

n=2

I(n)=1，I（1）=0，
∴

63

n=1

I(n)=

63

n=32

I(n)+

31

n=16

I(n)+

15

n=8

I(n)+

7

n=4

I(n)+

3

n=2

I(n)+I（1）=80+32+12+4+1+0=129；
故答案為：（1）2；（2）129

點評：解本題關鍵在于分析題意，透徹理解I（n）的含義及

63

n=1

I(n)的運算，注意轉化思想，結合二項式定理與等比數(shù)列的前n項和公式進行計算．