Question

9．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax（e自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論關(guān)于x的方程f（x）=a的根的個(gè)數(shù)；
（3）若a≥1，當(dāng)xf（x）≥x³-$\frac{5a+3}{2}$x²+3ax-1+m對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立時(shí)，m的最大值為1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=e^x-a，對(duì)a分類討論，即可得出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）由（1）可得：對(duì)a分類討論，利用其單調(diào)性即可得出：方程f（x）=a的根的個(gè)數(shù)．
（3）a≥1時(shí)，xf（x）≥x³-$\frac{5a+3}{2}$x²+3ax-1+m，化為：x（e^x-ax）-x³+$\frac{5a+3}{2}$x²-3ax+1≥m，令g（x）=x（e^x-ax）-x³+$\frac{5a+3}{2}$x²-3ax+1，x∈[0，+∞）．g′（x）=（1+x）[e^x-3（x+a）]，令h（x）=e^x-3（x+a），可得h′（x）=e^x-3，可得：函數(shù)h（x）存在唯一零點(diǎn)x₀．令g′（x）=0，可得${e}^{{x}_{0}}$=3x₀+3a．利用g（x₀）≥1，化為：a≥$\frac{2}{3}{x}_{0}$-3，即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-a，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0，此時(shí)函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，解得x=lna．則x∈（-∞，lna）時(shí)，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
x∈（lna，+∞）時(shí)，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
綜上可得：當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，lna）；函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是[lna，+∞）．
（2）由（1）可得：①當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．
x→+∞時(shí)，f（x）→+∞；x→-∞時(shí)，f（x）→-∞．
因此此時(shí)方程f（x）=a的根的個(gè)數(shù)為1．
②a=0時(shí)，f（x）=e^x＞0，此時(shí)方程f（x）=a的根的個(gè)數(shù)為0．
③當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，lna）；函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是[lna，+∞）．
可得函數(shù)f（x）的極小值即最小值為：f（x）_min=f（lna）=a-alna，
因此a=1時(shí)，f（x）_min=f（0）=1，∴此時(shí)方程f（x）=a的根的個(gè)數(shù)為1．
a＞1時(shí)，f（x）_min=f（lna）=a-alna＜a，∴此時(shí)方程f（x）=a的根的個(gè)數(shù)為2．
0＜a＜1時(shí)，f（x）_min=f（lna）=a-alna＞a，∴此時(shí)方程f（x）=a的根的個(gè)數(shù)為0．
綜上可得：①當(dāng)a＜0時(shí)，此時(shí)方程f（x）=a的根的個(gè)數(shù)為1．
②a=0時(shí)，此時(shí)方程f（x）=a的根的個(gè)數(shù)為0．
③當(dāng)a＞0時(shí)，a=1時(shí)，此時(shí)方程f（x）=a的根的個(gè)數(shù)為1．
a＞1時(shí)，此時(shí)方程f（x）=a的根的個(gè)數(shù)為2．
0＜a＜1時(shí)，此時(shí)方程f（x）=a的根的個(gè)數(shù)為0．
（3）a≥1時(shí)，xf（x）≥x³-$\frac{5a+3}{2}$x²+3ax-1+m，化為：x（e^x-ax）-x³+$\frac{5a+3}{2}$x²-3ax+1≥m，
令g（x）=x（e^x-ax）-x³+$\frac{5a+3}{2}$x²-3ax+1，x∈[0，+∞）．
g′（x）=（1+x）[e^x-3（x+a）]，
令h（x）=e^x-3（x+a），可得h′（x）=e^x-3，
因此當(dāng)x=ln3時(shí)，h（x）取得極小值，即最小值，h（ln3）=3-3（ln3+a）＜0，
且h（0）=1-3a＜0；x→+∞時(shí)，h（x）→+∞．
因此函數(shù)h（x）存在唯一零點(diǎn)x₀，．
令g′（x）=0，可得${e}^{{x}_{0}}$=3x₀+3a．
可得：當(dāng)x=x₀時(shí)，函數(shù)g（x）取得極小值，即最小值．
∴g（x₀）=x₀$（{e}^{{x}_{0}}-a{x}_{0}）$-${x}_{0}^{3}$+$\frac{5a+3}{2}{x}_{0}^{2}$-3ax₀+1≥1，
化為：a≥$\frac{2}{3}{x}_{0}$-3，其中x₀滿足：${e}^{{x}_{0}}$=3x₀+3a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值并且研究方程的根的個(gè)數(shù)、恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．