Question

某廠生產(chǎn)一種內(nèi)徑為105mm的零件，為了檢查該生產(chǎn)流水線的質(zhì)量情況，隨機(jī)抽取該流水線上50個(gè)零件作為樣本測(cè)出它們的內(nèi)徑長(zhǎng)度（單位：mm），長(zhǎng)度的分組區(qū)間為[90，95），[95，100），[100，105），[105，110），[110，115），由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．已知內(nèi)徑長(zhǎng)度在[100，110）之間的零件被認(rèn)定為一等品，在[95，100）或[110，115）之間的零件被認(rèn)定為二等品，否則認(rèn)定為次品．
（1）從上述樣品中隨機(jī)抽取1個(gè)零件，求恰好是一個(gè)次品的概率；
（2）以上述樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)該流水線的總體數(shù)據(jù)，若從流水線上（產(chǎn)品眾多）任意抽取3個(gè)零件，設(shè)一等品的數(shù)量為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）根據(jù)頻率分布直方圖的矩形面積等于該組的概率，累加長(zhǎng)度在[9，115）之間的頻率，進(jìn)而根據(jù)累積頻率為1，可得答案；
（2）由頻率分布直方圖中各組的頻率，分別算出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3）的值，即可得到隨機(jī)變量X的分布列，然后代入數(shù)學(xué)期望公式，可進(jìn)而求出數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）在[100，110）上的矩形面積為（0.032+0.08+0.06+0.02）×5=0.96，
1-0.96=0.04
∴估計(jì)從該流水線上任取一件產(chǎn)品，恰好為一個(gè)次品的概率為0.04；
（2）由題意知，X的取值為0，1，2，3，
∵上述樣品中隨機(jī)抽取1個(gè)零件，恰為一等品的概率為：（0.08+0.06）×5=0.7，
P（X=0）=C₃⁰×0.3³=0.027，
P（X=1）=C₃¹×0.7×0.3²=0.189，
P（X=2）=C₃²×0.7²×0.3=0.441，
P（X=3）=C₃³×0.7³=0.343．
故隨機(jī)變量X的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	0.027	0.189	0.441	0.343

∴E（X）=1×0.189+2×0.441+3×0.343=2.09

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的期望和分布列，以及頻率分布直方圖，同時(shí)考查了識(shí)圖能力，屬于中檔題．