Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，首項為1的等比數(shù)列{b_n}的公比為q，S₂=a₃=b₃，且a₁，a₃，b₄成等比數(shù)列．
（I）求{a_n}和{b_n}的通項公式；
（II）設(shè)成等差數(shù)列，求k和t的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由S₂=a₃，得2a₁+d=a₁+2d，故有a₁=d，
由S₂=b₃，得a₁+2d=b₁q²，故有3a₁=q²，…①．
由a₁，a₃，b₄成等比數(shù)列，得a₃²=a₁•b₄，故有9a₁=q³，…②．
由①②解得a₁=3，q=3．
所以a_n=3+（n-1）3=3n．b_n=3^n-1．
（Ⅱ）因為，所以c₁=3+k，c₂=7+k，c_t=4t+k-1．
由，成等差數(shù)列，得．
即有，
得t=，
因為t≥3，t∈N⁺．所以k-1必須是8的正約數(shù)．
所以或或或．
分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，利用S₂=a₃，利用S₂=b₃，以及a₁，a₃，b₄成等比數(shù)列，解得a₁=3，q=3．推出a_n，b_n．
（Ⅱ）通過，以及，成等差數(shù)列，得t=，利用t≥3，t∈N⁺．所以k-1必須是8的正約數(shù)，得到k與t的解．
點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查通項公式的求法，考查計算能力．