Question

在平面直角坐標系中，設(shè)點P（x，y），定義[OP]=|x|+|y|，其中O為坐標原點．對于下列結(jié)論：
（1）符合[OP]=1的點P的軌跡圍成的圖形的面積為2；
（2）設(shè)點P是直線：

5

x+2y-2=0上任意一點，則[OP]_min=1；
（3）設(shè)點P是直線：y=kx+1（k∈R）上任意一點，則“使得[OP]最小的點P有無數(shù)個”的充要條件是“k=±1”；
（4）設(shè)點P是圓x²+y²=1上任意一點，則[OP]max=

2

．
其中正確的結(jié)論序號為（　　）

• A、（1）、（2）、（3）
• B、（1）、（3）、（4）
• C、（2）、（3）、（4）
• D、（1）、（2）、（4）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,必要條件、充分條件與充要條件的判斷,軌跡方程

專題：新定義,簡易邏輯

分析：（1）根據(jù)新定義由[OP]=|x|+|y|=1，討論x的取值，得到y(tǒng)與x的分段函數(shù)關(guān)系式，畫出分段函數(shù)的圖象，由圖象可知點P的軌跡圍成的圖形為邊長是

2

的正方形，求出正方形的面積即可；
（2）舉反例，令y=0，求出相應的x，根據(jù)新定義求出[OP]=|x|+|y|，即可得到[OP]的最小值為1是假命題；
（3）根據(jù)|x|+|y|大于等于|x+y|或|x-y|，把y=kx+1代入即可得到當[OP]最小的點P有無數(shù)個時，k等于1或-1；而k等于1或-1推出[OP]最小的點P有無數(shù)個，得到k=±1是“使[OP]最小的點P有無數(shù)個”的充要條件；
（4）把P的坐標用參數(shù)表示，然后利用三角函數(shù)的化積求得[OP]=|x|+|y|的最大值說明命題正確．

解答： 解：（1）由[OP]=1，根據(jù)新定義得：|x|+|y|=1，
可化為：

y=-x+1，0≤x≤1，0≤y≤1 y=x-1，0≤x≤1，-1≤y≤0 y=x+1，-1≤x≤0，0≤y≤1 y=-x-1，-1≤x≤0，-1≤y≤0

，
畫出圖象如圖所示：

根據(jù)圖形得到：四邊形ABCD為邊長是

2

的正方形，面積等于2，（1）正確；
（2）當P（

2 5

5

，0）時，[OP]=|x|+|y|=

2 5

5

＜1，[OP]的最小值不為1，（2）錯誤；
（3）∵|x|+|y|≥|x+y|=|（k+1）x+1|，當k=-1時，|x|+|y|≥|1|=1，滿足題意；
而|x|+|y|≥|x-y|=|（k-1）x-1|，當k=1時，|x|+|y|≥|-1|=1，滿足題意．
∴“使[OP]最小的點P有無數(shù)個”的充要條件是“k=±1”，（3）正確；
（4）∵點P是圓x²+y²=1上任意一點，則可設(shè)

x=cosθ y=sinθ

，θ∈[0，2π)，
[OP]=|x|+|y|=cosθ+sinθ=

2

sin(θ+

π

4

)，θ∈[0，

π

2

]，∴[OP]max=

2

，（4）正確．
則正確的結(jié)論有：（1）、（3）、（4）．
故選：B．

點評：此題考查學生理解及運用新定義的能力，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，關(guān)鍵是對題意的理解，是中檔題．