過(guò)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)外一點(diǎn)A(m,0)作一直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn),又Q關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)為Q1,連結(jié)PQ1交x軸于點(diǎn)B.
(1)若
AP
AQ
,求證:
PB
BQ1
;
(2)求證:點(diǎn)B為一定點(diǎn)(
a2
m
,0).
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題:綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(1)設(shè)直線l過(guò)A(m,0)與橢圓交于P(x1,y1),Q(x2,y2),可得Q的坐標(biāo),由
AP
AQ
,即可證明
PB
BQ1

(2)先確定mxB=
x
2
1
-λ2
x
2
2
1-λ2
,再得出x12-λ2x22=a2(1-λ2),即可證明點(diǎn)B為一定點(diǎn)(
a2
m
,0).
解答: 證明:(1)設(shè)直線l過(guò)A(m,0)與橢圓交于P(x1,y1),Q(x2,y2),
而Q1與Q關(guān)于x軸對(duì)稱,則Q1(x2,-y2),
AP
AQ
,則y1-0=λ(y2-0),
∴0-y1=λ(0-y2),
PB
BQ1
.  …(6分)
(2)由
AP
AQ
,則m=
x1x2
1-λ
  …①
PB
=λ
BQ1
,則xB=
x1x2
1+λ
  …②
由①×②得 mxB=
x
2
1
-λ2
x
2
2
1-λ2
   …③
x
2
1
a2
+
y
2
1
b2
=1
  …④
x22
a2
+
y22
b2
=1 …⑤
∵y1=λy2,由④-⑤•λ2x12-λ2x22=a2(1-λ2),…⑥
由③⑥可知mxB=a2
∴xB=
a2
m

∴點(diǎn)B為一定點(diǎn)(
a2
m
,0).                         …(13分)
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查向量知識(shí)的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)p:(
1
2
x<1,q:log2x<0,則p是q的( 。
A、充分不必要條件
B、必要不充分條件
C、充要條件
D、既不充分也不必要條件

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱為可入肺顆粒物.我國(guó)PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí);在35-75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí);在75微克/立方米及其以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).某試點(diǎn)城市環(huán)保局從該市市區(qū)2013年3月每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取6天的數(shù)據(jù)作為樣本,監(jiān)測(cè)值如莖葉圖所示(十位為莖,個(gè)位為葉).
(Ⅰ)求該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差;
(Ⅱ)若從這6天的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽出2天,求恰有一天空氣質(zhì)量超標(biāo)的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖所示,已知四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD為直角梯形,∠BAD
=90°,PA=AD=AB=
1
2
CD=1,M為PB的中點(diǎn).
(1)試在CD上確定一點(diǎn)N,使得MN∥平面PAD.
(2)點(diǎn)N在滿足(1)的條件下,求直線MN與平面PAB所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

2013年9月20日是第25個(gè)全國(guó)愛(ài)牙日.某區(qū)衛(wèi)生部門成立了調(diào)查小組,調(diào)查“常吃零食與患齲齒的關(guān)系”,對(duì)該區(qū)六年級(jí)800名學(xué)生進(jìn)行檢查,按患齲齒和不患齲齒分類,得匯總數(shù)據(jù):不常吃零食且不患齲齒的學(xué)生有60名,常吃零食但不患齲齒的學(xué)生有100名,不常吃零食但患齲齒的學(xué)生有140名.
P(K2≥k00.0100.0050.001
k06.6357.87910.828
能否在犯錯(cuò)概率不超過(guò)0.001的前提下,認(rèn)為該區(qū)學(xué)生的常吃零食與患齲齒有關(guān)系?附:
k2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在區(qū)間[-1,2]上先后隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x、y
(Ⅰ)求先后隨機(jī)得到的兩個(gè)數(shù)x、y滿足y<3x+2的概率.
(Ⅱ)若先后隨機(jī)得到的兩個(gè)數(shù)x、y∈N,求滿足y=2x的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

過(guò)點(diǎn)P(8,1)的直線與雙曲線x2-4y2=4相交于A、B兩點(diǎn),且P是線段AB的中點(diǎn),求直線AB的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足:Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且2,an,Sn成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若an2=(
1
2
 bn,cn=
bn
an
,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=
4an+4
an+4

(1)求證:數(shù)列{
an+2
an-2
}為等比數(shù)列;
(2)設(shè)m,n,p∈N*,m<n<p,問(wèn):數(shù)列{an}中是否存在三項(xiàng)am,an,ap,使am,an,ap成等差數(shù)列,如果存在,請(qǐng)求出這三項(xiàng);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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