Question

2．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{6}$，a_n+1=$\frac{1}{3}$（a_n-1）．
（1）證明：{a_n+$\frac{1}{2}$}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：a₁+a₂+…+a_n＜$\frac{2-n}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由${a_1}=\frac{1}{6}，{a_{n+1}}=\frac{1}{3}（{a_n}-1）$，變形為${a_{n+1}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}（{a_n}+\frac{1}{2}）$，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）利用等比數(shù)列的求和公式、數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 證明：（1）∵${a_1}=\frac{1}{6}，{a_{n+1}}=\frac{1}{3}（{a_n}-1）$，∴${a_{n+1}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}（{a_n}+\frac{1}{2}）$
故$\left\{{{a_n}+\frac{1}{2}}\right\}$是首項(xiàng)為${a_1}+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$，公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，且${a_n}+\frac{1}{2}=\frac{2}{3^n}$
故${a_n}=\frac{2}{3^n}-\frac{1}{2}$．
（2）${a_1}+{a_2}+…+{a_n}=2（\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{3^n}）-\frac{n}{2}$=$\frac{2×\frac{1}{3}×（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{2}$=$（1-\frac{1}{3^n}）-\frac{n}{2}＜\frac{2-n}{2}$
故${a_1}+{a_2}+…+{a_n}＜\frac{2-n}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的求和公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．