Question

從點(diǎn)P₁（0，0）作x軸的垂線交曲線y=e^x于點(diǎn)Q₁（0，1），曲線在Q點(diǎn)處的切線與x軸交于點(diǎn)P₂．現(xiàn)從P₂作x軸的垂線交曲線于點(diǎn)Q2，依次重復(fù)上述過程，可得到一系列點(diǎn)：P₁，Q₁，P₂，Q₂，…，則

n

i=1

|P_iQ_i|=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：設(shè)出p_k-1的坐標(biāo)，求出Q_k-1，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是曲線的曲線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出切線方程，令y=0得到x_k與x_k+1的關(guān)系．求出|P_iQ_i|的表達(dá)式，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出和．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)P_k-1（x_k-1，0），
由y=e^x得Q_k-1（x_k-1，exk-1），
則點(diǎn)Q_k-1處切線方程為y-exk-1=exk-1（x-x_k-1），
由y=0得x_k=x_k-1-1（2≤k≤n）．
由于x₁=0，x_k-x_k-1=-1，得x_k=-（k-1），
則|P_iQ_i|=exi=e^-i+1，
故S_n=|P₁Q₁|+|P₂Q₂|+|P₃Q₃|+…+|P_nQ_n|
=1+e^-1+e^-2+…+e^-n+1
=

1-e-n

1-e-1

=

e-e1-n

e-1

，
故答案為：

e-e1-n

e-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是曲線的切線的斜率、考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．