Question

已知函數(shù)f(x)＝e^x－ax，其中a＞0．

(1)若對(duì)一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合；

(2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A(x₁，f(x₁))，B(x₂，f(x₂))(x₁＜x₂)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x₀∈(x₁，x₂)，使(x₀)＝k恒成立．

Answer 1

答案：
解析：

解：令． 　　當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最小值 　　于是對(duì)一切恒成立，當(dāng)且僅當(dāng) 　　．① 　　令則 　　當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減． 　　故當(dāng)時(shí)，取最大值．因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，①式成立． 　　綜上所述，的取值集合為． 　　(Ⅱ)由題意知， 　　令則 　　 　　 　　令，則． 　　當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增． 　　故當(dāng)，即 　　從而，又 　　所以 　　因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在 　　使即成立．

提示：

本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問(wèn)題等，考查運(yùn)算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法．第一問(wèn)利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對(duì)一切x∈R，f(x)1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合；第二問(wèn)在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理，然后把問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)方程是否存在解的問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷．