Question

已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點x=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線的斜率為3．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若f（x）≤kx²對任意x＞0成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）當n＞m＞1（m，n∈N^*）時，證明：

n m

m n

＞

m

n

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，令f′（e）=3，即可得到a；
（Ⅱ）由（Ⅰ），知f（x）=x+xlnx，f（x）≤kx²對任意x＞0成立?k≥

1+lnx

x

對任意x＞0成立，
令g（x）=

1+lnx

x

，則問題轉(zhuǎn)化為求g（x）的最大值，只要k不小于最大值即可．
（Ⅲ）令h（x）=

xlnx

x-1

，則h′（x）=

x-1-lnx

(x-1)2

．由（Ⅱ），知x≥1+lnx（x＞0），由h′（x）≥0，
則h（x）是（1，+∞）上的增函數(shù)，運用單調(diào)性化簡整理即可得證．

解答： （Ⅰ）解：求導(dǎo)數(shù)，得f′（x）=a+lnx+1．          
由已知，得f′（e）=3，即a+lne+1=3
∴a=1．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），知f（x）=x+xlnx，
∴f（x）≤kx²對任意x＞0成立?k≥

1+lnx

x

對任意x＞0成立，
令g（x）=

1+lnx

x

，則問題轉(zhuǎn)化為求g（x）的最大值．
求導(dǎo)數(shù)，得g′（x）=-

lnx

x2

，令g′（x）=0，解得x=1．
當0＜x＜1時，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，1）上是增函數(shù)；
當x＞1時，g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．
故g（x）在x=1處取得最大值g（1）=1．
∴k≥1即為所求．
（Ⅲ）證明：令h（x）=

xlnx

x-1

，則h′（x）=

x-1-lnx

(x-1)2

．
由（Ⅱ），知x≥1+lnx（x＞0），∴h′（x）≥0，
∴h（x）是（1，+∞）上的增函數(shù)．
∵n＞m＞1，∴h（n）＞h（m），即

nlnn

n-1

＞

mlnm

m-1

，
∴mnlnn-nlnn＞mnlnm-mlnm，
即mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn，
即lnn^mn+lnm^m＞lnm^mn+lnnⁿ，
即ln（mnⁿ）^m＞ln（nm^m）ⁿ，
∴（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ，
∴

n m

m n

＞

m

n

．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求切線方程，求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，同時考查分離參數(shù)法和運用單調(diào)性證明不等式問題，屬于中檔題．