Question

已知兩個定點坐標分別是F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），曲線C上一點任意一點到兩定點的距離之差的絕對值等于2

5

．
（1）求曲線C的方程；
（2）過F₁（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點，求△ABF₂的面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得曲線C的以F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0）的雙曲線，且實軸長2a=2

5

，由此能求出曲線C的方程．
（2）直線方程為y=x+3，聯(lián)立

y=x-3 x2 5 - y2 4 =1

，得x²-30x+65=0，由此利用韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式能求出△ABF₂的面積．

解答： 解：（1）∵兩個定點坐標分別是F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），
曲線C上一點任意一點到兩定點的距離之差的絕對值等于2

5

，
∴曲線C的以F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0）的雙曲線，且實軸長2a=2

5

，
∴a²=5，b²=9-5=4，
∴曲線C的方程為

x2

5

-

y2

4

=1．
（2）過F₁（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線，
直線方程為y=x+3，
聯(lián)立

y=x-3 x2 5 - y2 4 =1

，得x²-30x+65=0，
△=900-4×65=640＞0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=30，x₁x₂=65，
|AB|=

(1+1)(900-4×65)

=16

5

，
F₂（3，0）到直線y=x+3的距離d=

|3-0+3|

2

=3

2

，
∴△ABF₂的面積S=

1

2

|AB|•d=

1

2

×16

5

×3

2

=24

10

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形的面積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式的合理運用．