Question

14．已知函數(shù)f（x）=a|x+1|-|x-1|，a≥1．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，解不等式f（x）＜1；
（Ⅱ）若實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3，4]，求f（x）的圖象與直線y=2所圍成的三角形的面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論x的范圍，求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為y=2與f（x）的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)都在y軸的左側(cè)，結(jié)合圖象，求出S的面積即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1時(shí)，f（x）=a|x+1|-|x-1|=|x+1|-|x-1|，
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2，x＜-1}\\{2x，-1≤x≤1}\\{2，x＞1}\end{array}\right.$，
∴不等式f（x）＜1的解集是{x|x＜$\frac{1}{2}$}；
（Ⅱ）∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（1-a）x-a-1，x＜-1}\\{（1+a）x+a-1，-1≤x≤1}\\{（a-1）x+a+1，x＞1}\end{array}\right.$，
由（1-a）x-a-1=2，解得：x=$\frac{a+3}{1-a}$，
∴A（$\frac{a+3}{1-a}$，2），同理B（$\frac{3-a}{1+a}$，2）；
∵$\frac{3-a}{1+a}$＜0，∴y=2與f（x）的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)都在y軸的左側(cè)，

而y=（1+a）x+a-1與y=（a-1）x+a+1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
∴y=2只與f（x）的前2支相交，
∴|AB|=$\frac{3-a}{1+a}$-$\frac{a+3}{1-a}$=$\frac{8}{a-\frac{1}{a}}$，
∵a∈[3，4]，∴|AB|∈[$\frac{32}{15}$，3]，
而|CD|=4，
∴S=$\frac{1}{2}$|AB|•|CD|∈[$\frac{64}{15}$，6]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，考查三角形的面積以及數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．