14.已知函數(shù)f(x)=a|x+1|-|x-1|,a≥1.
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),解不等式f(x)<1;
(Ⅱ)若實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3,4],求f(x)的圖象與直線y=2所圍成的三角形的面積的取值范圍.

分析 (Ⅰ)通過討論x的范圍,求出不等式的解集即可;
(Ⅱ)問題轉(zhuǎn)化為y=2與f(x)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)都在y軸的左側(cè),結(jié)合圖象,求出S的面積即可.

解答 解:(Ⅰ)a=1時(shí),f(x)=a|x+1|-|x-1|=|x+1|-|x-1|,
f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-2,x<-1}\\{2x,-1≤x≤1}\\{2,x>1}\end{array}\right.$,
∴不等式f(x)<1的解集是{x|x<$\frac{1}{2}$};
(Ⅱ)∵f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{(1-a)x-a-1,x<-1}\\{(1+a)x+a-1,-1≤x≤1}\\{(a-1)x+a+1,x>1}\end{array}\right.$,
由(1-a)x-a-1=2,解得:x=$\frac{a+3}{1-a}$,
∴A($\frac{a+3}{1-a}$,2),同理B($\frac{3-a}{1+a}$,2);
∵$\frac{3-a}{1+a}$<0,∴y=2與f(x)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)都在y軸的左側(cè),

而y=(1+a)x+a-1與y=(a-1)x+a+1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,
∴y=2只與f(x)的前2支相交,
∴|AB|=$\frac{3-a}{1+a}$-$\frac{a+3}{1-a}$=$\frac{8}{a-\frac{1}{a}}$,
∵a∈[3,4],∴|AB|∈[$\frac{32}{15}$,3],
而|CD|=4,
∴S=$\frac{1}{2}$|AB|•|CD|∈[$\frac{64}{15}$,6].

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問題,考查三角形的面積以及數(shù)形結(jié)合思想,是一道中檔題.

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