Question

5．已知定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：對(duì)任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（x+y）．
（Ⅰ）求證：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（Ⅱ）如果當(dāng)x∈（-1，0]時(shí)，有f（x）＜0，試判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性，并用定義證明你的判斷；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若a-8x+1＞0對(duì)滿(mǎn)足不等式f（x-$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{4}$-2x）＜0的任意x恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，先分析函數(shù)的定義域，可得其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，進(jìn)而令y=x=0，可得f（0）=0，再令y=-x，分析可得f（-x）=-f（x），即可得答案；
（Ⅱ）分析可得：y=f（x）為（-1，1）上單調(diào)遞增，進(jìn)而證明：先用定義法證明可得y=f（x）為（-1，0]上單調(diào)遞增，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得y=f（x）為（-1，0]上單調(diào)遞增，綜合可得答案；
（Ⅲ）根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性可得：若f（x-$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{4}$-2x）＜0，則必有$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x-\frac{1}{2}＜1}\\{-1＜2x-\frac{1}{4}＜1}\\{x-\frac{1}{2}＜2x-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，解可得x的范圍，所以原問(wèn)題等價(jià)于a-8x+1＞0對(duì)于-$\frac{1}{4}$＜x＜$\frac{5}{8}$恒成立，分析可得a的取值范圍，即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）由題可知，函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?1，1），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；
對(duì)于f（x）+f（y）=f（x+y）．
令y=x=0，可得2f（0）=f（0），從而f（0）=0，
再令y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x），
所以y=f（x）為（-1，1）上的奇函數(shù)；
（Ⅱ）y=f（x）為（-1，1）上單調(diào)遞增，
證明如下：
設(shè)x₁、x₂為區(qū)間（-1，0]上的任意兩個(gè)自變量的值，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）；
由于-1＜x₁＜x₂＜0，所以-1＜x₁-x₂≤0，從而f（x₁-x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以y=f（x）為（-1，0]上單調(diào)遞增，
又由于y=f（x）為（-1，1）上的奇函數(shù)；
由奇函數(shù)的性質(zhì)分析可得：y=f（x）為[0，1）上單調(diào)遞增，
故y=f（x）為（-1，1）上單調(diào)遞增，
（Ⅲ）根據(jù)題意，若f（x-$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{4}$-2x）＜0，
則有f（x-$\frac{1}{2}$）＜f（2x-$\frac{1}{4}$），
則必有$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x-\frac{1}{2}＜1}\\{-1＜2x-\frac{1}{4}＜1}\\{x-\frac{1}{2}＜2x-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
解可得-$\frac{1}{4}$＜x＜$\frac{5}{8}$，
所以原問(wèn)題等價(jià)于a-8x+1＞0對(duì)于-$\frac{1}{4}$＜x＜$\frac{5}{8}$恒成立，
則必有a≥[8×（$\frac{5}{8}$）-1]=4，即a≥4；
故a的取值范圍是[4，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，涉及函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及函數(shù)恒成立問(wèn)題的運(yùn)用，對(duì)于（Ⅲ），關(guān)鍵在于將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a-8x+1＞0對(duì)于-$\frac{1}{4}$＜x＜$\frac{5}{8}$恒成立問(wèn)題．