Question

若數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)數(shù)列，且

a1

+

a2

+…+

an

=n²+3n（n∈N^*），則

a1

2

+

a2

3

+…+

an

n+1

=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意先可求的a₁，進(jìn)而根據(jù)題設(shè)中的數(shù)列遞推式求得

a1

+

a2

+…+

an-1

=（n-1）²+3（n-1）與已知式相減即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得數(shù)列{

an

n+1

}的通項(xiàng)公式，可知是等差數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求得答案．

解答：解：令n=1，得

a1

=4，∴a₁=16．
當(dāng)n≥2時(shí)，

a1

+

a2

+…+

an-1

=（n-1）²+3（n-1）．
與已知式相減，得

an

=（n²+3n）-（n-1）²-3（n-1）=2n+2，
∴a_n=4（n+1）²，n=1時(shí)，a₁適合a_n．
∴a_n=4（n+1）²，
∴

an

n+1

=4n+4，
∴

a1

2

+

a2

3

++

an

n+1

=

n(8+4n+4)

2

=2n²+6n．
故答案為2n²+6n

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列遞推式求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解題的關(guān)鍵是求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．