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4.已知直線(xiàn)l:\left\{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.(t為參數(shù))經(jīng)過(guò)橢圓C:\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}}\right.(φ為參數(shù))的左焦點(diǎn)F.
(1)求m的值;
(2)設(shè)直線(xiàn)l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),求|FA|•|FB|的最大值和最小值.

分析 (1)利用cos2φ+sin2φ=1將橢圓C的參數(shù)方程化為普通方程,可得a,b,c,可得點(diǎn)F的坐標(biāo),l是經(jīng)過(guò)點(diǎn)(m,0)的直線(xiàn),可得m.
(2)將l的參數(shù)方程代入橢圓C的普通方程,并整理,得(3cos2α+4sin2α)t2-6tcosα-9=0,利用|FA|•|FB|=|t1t2|即可得出.

解答 解:(1)將橢圓C的參數(shù)方程化為普通方程,得:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1
所以a=2,b=\sqrt{3},c=1,則點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-1,0),l是經(jīng)過(guò)點(diǎn)(m,0)的直線(xiàn),故m=-1. …(4分)
(2)將l的參數(shù)方程代入橢圓C的普通方程,并整理,得(3cos2α+4sin2α)t2-6tcosα-9=0
設(shè)點(diǎn)A,B在直線(xiàn)參數(shù)方程中對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2
則|FA|•|FB|=|t1t2|=\frac{9}{3co{s}^{2}α+4si{n}^{2}α}=\frac{9}{3+si{n}^{2}α},
當(dāng)sinα=0,|FA|•|FB|取最大值3
當(dāng)sinα=±1時(shí),|FA|•|FB|取最小值\frac{9}{4}.…(10分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線(xiàn)與橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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