Question

15．在銳角△ABC 中，A，B，C的對邊為a，b，c，A=2B，則$\frac{a}$的取值范圍是（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 由題意和正弦定理可得$\frac{a}$=2cosB，由銳角三角形可得B的范圍，由余弦函數(shù)值域和不等式可得．

解答 解：∵在銳角△ABC中A=2B，
∴由正弦定理可得：$\frac{a}$=$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{sin2B}{sinB}$=$\frac{2sinBcosB}{sinB}$=2cosB，
∵A+B+C=π，
∴C+3B=π，即C=π-3B，
由銳角三角形可得0＜π-3B＜$\frac{π}{2}$，且0＜2B＜$\frac{π}{2}$，
∴解得$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{4}$，故$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cosB＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\sqrt{2}$＜2cosB＜$\sqrt{3}$，
故答案為：（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的應用，由已知三角形得出B的范圍是解決問題的關鍵，屬基礎題．