Question

四棱錐S-ABCD中，側(cè)面SAD是正三角形，底面ABCD是正方形，且平面SAD⊥平面ABCD，M、N、O分別是AB、SC、AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：MN∥平面SAD；
（Ⅱ）求證：平面SOB⊥平面SCM．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線(xiàn)與平面平行的判定

專(zhuān)題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取SD的中點(diǎn)R，連結(jié)AR、RN，先證明四邊形AMNR是平行四邊形，可得MN∥AR，由于A(yíng)R?平面SAD，MN在平面SAD外，可證MN∥平面SAD．
（Ⅱ）如圖，設(shè)OB∩CM=H，先證明CM⊥SO，再證明CM⊥OB，可證平面SOB⊥平面SCM．

解答： （本小題滿(mǎn)分12分）
解：（Ⅰ）如圖，取SD的中點(diǎn)R，連結(jié)AR、RN，
則RN∥CD，且RN=

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CD，AM∥CD，
所以RN∥AM，且RN=AM，
所以四邊形AMNR是平行四邊形，
所以MN∥AR，由于A(yíng)R?平面SAD，MN在平面SAD外，
所以MN∥平面SAD．（6分）
（Ⅱ）如圖，設(shè)OB∩CM=H，由SO⊥AD，面SAD⊥面ABCD，
所以SO⊥平面ABCD，所以CM⊥SO，
易得△ABO≌△BCM，所以∠ABO=∠BCM，
則∠BMH+∠ABO=∠BMH+∠BCM=90°，
所以CM⊥OB，
所以CM⊥平面SOB，因?yàn)镃M?平面SCM，
所以平面SOB⊥平面SCM．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了平面與平面垂直的判定，直線(xiàn)與平面平行的判定，屬于中檔題．