設(shè)函數(shù)f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中x∈R,a、b為常數(shù),已知曲線y=f(x)與y=g(x)在點(2,0)處有相同的切線l.
(Ⅰ) 求a、b的值,并寫出切線l的方程;
(Ⅱ)若方程f(x)+g(x)=mx有三個互不相同的實根0、x1、x2,其中x1<x2,且對任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
分析:(I) 利用曲線y=f(x)與y=g(x)在點(2,0)處有相同的切線l,可得f(2)=g(2)=0,f'(2)=g'(2)=1.即為關(guān)于a、b的方程,解方程即可.
(II)把方程f(x)+g(x)=mx有三個互不相同的實根轉(zhuǎn)化為x1,x2是x2-3x+2-m=0的兩相異實根.求出實數(shù)m的取值范圍以及x1,x2與實數(shù)m的關(guān)系,再把f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)+g(x)-mx在x∈[x1,x2]上的最大值,綜合在一起即可求出實數(shù)m的取值范圍.
解答:解:(I) f'(x)=3x
2+4ax+b,g'(x)=2x-3.
由于曲線y=f(x)與y=g(x)在點(2,0)處有相同的切線l.
故有f(2)=g(2)=0,f'(2)=g'(2)=1.
由此得
,解得
,
所以a=-2,b=5..切線的方程為x-y-2=0.
(II)由(I)得f(x)=x
3-4x
2+5x-2,所以f(x)+g(x)=x
3-3x
2+2x.
依題意,方程x(x
2-3x+2-m)=0,有三個互不相等的實根0,x
1,x
2,
故x
1,x
2是x
2-3x+2-m=0的兩相異實根.
所以△=9-4(2-m)>0,解得m>-
.
又對任意的x∈[x
1,x
2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,
特別地取x=x
1時,f(x
1)+g(x
1)<m(x
1-1)成立,得m<0.
由韋達(dá)定理得x
1+x
2=3>0,x
1x
2=2-m>0.故0<x
1<x
2.
對任意的x∈[x
1,x
2],x-x
2≤0,x-x
1≥0,x>0.
則f(x)+g(x)-mx=x(x-x
1)(x-x
2)≤0,又f(x
1)+g(x
1)-mx
1=0.
所以f(x)+g(x)-mx在x∈[x
1,x
2]上的最大值為0.
于是當(dāng)m<0,對任意的x∈[x
1,x
2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,
綜上得:實數(shù)m的取值范圍是(-
,0).
點評:本題主要考查函數(shù),導(dǎo)數(shù),不等式等基礎(chǔ)知識,同時考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理論證的能立,以及函數(shù)與方程和特殊與一般的思想.