Question

已知拋物線C₁：x²=2py（p＞0）與橢圓C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）在第一象限的公共點為A（2

2

，1），設拋物線C₁的焦點為F，橢圓C₂的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），△F₁F₂F的面積為6．
（Ⅰ）求拋物線C₁和橢圓C₂的方程；
（Ⅱ）設A₁，A₂為橢圓C₂的左、右頂點，P為橢圓C₂上異于A₁，A₂的任意一點，直線l：x=

a2

c

，l與直線A₁P，A₂P分別交于點M，N，試探究：在x軸上是否存在定點D，使得以線段MN為直徑的圓恒過點D，若存在，請求出點D的坐標，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）推廣（Ⅱ），得橢圓的一般性的正確命題，據此類比，得到雙曲線的一般性正確命題，請直接寫出這個雙曲線的正確命題（不必證明）．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）點A（2

2

，1）代入x²=2py，得（2

2

）²=2p，由此能求出拋物線C₁的方程；拋物線的焦點為F（0，2），由△F₁F₂F的面積為6，得c=3，設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

a2-9

=1，把點A（2

2

，1）代入，能求出橢圓C₂的方程．
（Ⅱ）設P（x₀，y₀），則

x02

12

+

y02

3

=1，由（Ⅰ）知A1(-2

3

，0)，A2(2

3

，0)，直線l：x=4，kPA1=

y0

x0+2 3

，kPA2=

y0

x0-2 3

，直線：PA₁：y-0=

y0

x0+2 3

(x+2

3

)，直線PA₂：y-0=

y0

x0-2 3

(x-2

3

)，由此入手結合已知條件能推導出存在定點（3，0）或（5，0）符合題意．
（Ⅲ）根據橢圓的一般性的正確命題，總結規(guī)律，據此類比，能得到雙曲線的一般性正確命題．

解答： 解：（Ⅰ）點A（2

2

，1）代入x²=2py，得（2

2

）²=2p，解得p=4，
∴拋物線C₁的方程為x²=8y．
∴拋物線的焦點為F（0，2），
依題意S△FF1F2=

1

2

×|F1F2|×|OF|=

1

2

×2c×2=6，
解得c=3，
∴橢圓方程為

x2

a2

+

y2

a2-9

=1，
把點A（2

2

，1）代入，得

(2 2 )2

a2

+

1

a2-9

=1，
解得a²=12或a²=6，
∵a²=6時，a=

6

＜3=c，不合題意，舍去，
∴a²=12，∴橢圓C₂的方程為

x2

12

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設P（x₀，y₀），則

x02

12

+

y02

3

=1，
由（Ⅰ）知A1(-2

3

，0)，A2(2

3

，0)，
直線l：x=4，kPA1=

y0

x0+2 3

，kPA2=

y0

x0-2 3

，
直線：PA₁：y-0=

y0

x0+2 3

(x+2

3

)，
直線PA₂：y-0=

y0

x0-2 3

(x-2

3

)，
∴M(4，

y0

x0+2 3

(4+2

3

))，N（4，

y0

x0-2 3

(4-2

3

)），
假設存在定點D（m，0）符合題意，則

DM

•

DN

=0，
又

DM

=(4-m，

y0

x0+2 3

(4+2

3

))，

DN

=（4-m，

y0

x0-2 3

(4-2

3

)），
∴

DM

•

DN

=（4-m）²+

y02

x02-12

（4²-12）=0，
即（4-m）²+4×

y02

x02-12

=0，
∵

x02

12

+

y02

3

=1，∴

y02

3

=1-

x02

12

=

12-x02

12

，
即

y02

x02-12

=-

1

4

，
代入，得(4-m)2+4×(-

1

4

)=0，
解得m=3或m=5，
∴存在定點（3，0）或（5，0）符合題意．
（Ⅲ）所得雙曲線的一般結論為：
設A₁，A₂為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右頂點，P為雙曲線上異于A₁，A₂的任意一點，直線l：x=

a2

c

（其中c為半焦距），l與直線A₁P，A₂P分別交于點M，N，則在x軸上存在定點D，使得以線段MN為直徑的圓恒過點D，且定點D的坐標為（c，0），或（

2a2-c2

c

，0）．

點評：本題考查拋物線和橢圓方程的求法，考查滿足條件的點的坐標是否存在的判斷與求法，考查雙曲線的一般結論的敘述，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．