Question

如圖所示，有兩條相交成60°的直路xx₁，yy₁，交點為O，甲、乙分別在Ox、Oy上，起初甲位于離O點3km的A處，乙位于離O點1km的B處．后來兩人同時以每小時4km的速度，甲沿xx₁的方向，乙沿y₁y的方向．  求：（1）起初兩人的距離是多少？（2）什么時候兩人的距離最短？

Answer 1

分析：（1）連接AB，在三角形OAB中，由OA，OB及cos∠AOB的值，利用余弦定理即可求出AB的長；
（2）設運動的時間是t小時，兩點運動的路程為4tkm，表示出此時的OA和OB，再由cos∠AOB的值，利用余弦定理表示出AB的長，根據t的范圍，利用二次函數的性質即可求出兩人距離最短時的時間t的值．

解答：
解：（1）連接AB，在△OAB中，OA=3km，OB=1km，∠AOB=60°，
根據余弦定理得：AB²=OA²+OB²-2OA•OB•cos∠AOB=9+1-3=7，
解得：AB=

7

（km）；
（2）A在O的右邊，則t小時走的路為4t，OA=3-4t，OB=1+4t，
根據余弦定理得：AB=

48t2-24t+7

，且0≤t＜

3

4

，
設m=48t²-24t+7，可得m在[0，

3

4

）的最小值為m（

1

4

）=4，
則當t=

1

4

h時，兩人的距離最短，最短距離為2．

點評：此題考查了余弦定理，特殊角的三角函數值以及二次函數的性質，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．