Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3mx²+nx+m²．在x=-1處有極值0；
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=3x²+6mx+n，得方程組

f′(-1)=3-6m+n=0 f(-1)=-1+3m-n+m2=0

，解出即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：①當(dāng)m=1，n=3時(shí)f′（x）=3（x+1）²≥0恒成立，即x=-1不是f（x）的極值點(diǎn)，舍去．②當(dāng)m=2，n=9時(shí)f′（x）=3（x+1）（x+3），所以f（x）在x=-1處有極值，故m=2，n=9；∴f（x）的減區(qū)間是（-3，-1）；增區(qū)間是（-∞，-3），（-1，+∞）．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²+6mx+n
∴

f′(-1)=3-6m+n=0 f(-1)=-1+3m-n+m2=0

，
解得：

m=1 n=3

，或

m=2 n=9

，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
①當(dāng)m=1，n=3時(shí)f′（x）=3（x+1）²≥0恒成立，
即x=-1不是f（x）的極值點(diǎn)，舍去．
②當(dāng)m=2，n=9時(shí)f′（x）=3（x+1）（x+3），
當(dāng)-3＜x＜-1時(shí)，f’（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞-1 或 x＜-3 時(shí)，f’（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
所以f（x）在x=-1處有極值，故m=2，n=9；
∴f（x）的減區(qū)間是（-3，-1）；增區(qū)間是（-∞，-3），（-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．