Question

如圖所示，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別是棱AA′，CC′的中點(diǎn)，過(guò)直線E，F(xiàn)的平面分別與棱BB′、DD′交于M，N，設(shè)BM=x，x∈[0，1]，給出以下五個(gè)命題：
①當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，四邊形MENF的周長(zhǎng)最大；
②當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

2

時(shí)，四邊形MENF的面積最�。�
③多面體ABCD-MENF的體積為

1

2

④四棱錐C′-MENF的體積V=V（x）為常函數(shù)；
⑤直線MN與直線CC′的夾角正弦值的范圍是[

6

3

，1]
以上命題中正確的有

 

（天上所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問(wèn)題

專(zhuān)題：壓軸題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：①判斷周長(zhǎng)的變化情況．②四邊形MENF的對(duì)角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長(zhǎng)度最小即可．③計(jì)算兩個(gè)多面體的體積關(guān)系．④求出四棱錐的體積，進(jìn)行判斷．⑤當(dāng)x=0或x=1時(shí)，直線MN與直線CC′的夾角最小，x=

1

2

時(shí)，直線MN與直線CC′的夾角最大．

解答： 解：①因?yàn)镋F⊥MN，所以四邊形MENF是菱形．當(dāng)x∈[0，

1

2

]時(shí)，EM的長(zhǎng)度由大變�。�當(dāng)x∈[

1

2

，1]時(shí)，EM的長(zhǎng)度由小變大．所以當(dāng)x=0或x=1時(shí)周長(zhǎng)都為最大值．所以①錯(cuò)誤．
②連結(jié)MN，因?yàn)镋F⊥平面BDD'B'，所以EF⊥MN，四邊形MENF的對(duì)角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長(zhǎng)度最小即可，此時(shí)當(dāng)M為棱的中點(diǎn)時(shí)，即x=

1

2

時(shí)，此時(shí)MN長(zhǎng)度最小，對(duì)應(yīng)四邊形MENF的面積最�。�所以②正確．
③因?yàn)镋，F(xiàn)是固定的中點(diǎn)，所以當(dāng)M在運(yùn)動(dòng)時(shí)，AM=D'N，DN=B'M，所以被截面MENF平分成的兩個(gè)多面體是完全相同的，所以它們的體積也是相同的．所以③正確．
④連結(jié)C'E，C'M，C'N，則四棱錐則分割為兩個(gè)小三棱錐，它們以C'EF為底，以M，N分別為頂點(diǎn)的兩個(gè)小棱錐．因?yàn)槿�角形C'EF的面積是個(gè)常數(shù)．M，N到平面C'EF的距離是個(gè)常數(shù)，所以四棱錐C'-MENF的體積V=h（x）為常函數(shù)，所以④正確．
⑤當(dāng)x=0或x=1時(shí)，直線MN與直線CC′的夾角最小，正弦值為

2

3

=

6

3

，x=

1

2

時(shí)，直線MN與直線CC′的夾角最大，正弦值為1，所以⑤正確．
故答案為：②③④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間立體幾何中的面面垂直關(guān)系以及空間幾何體的體積公式，本題巧妙的把立體幾何問(wèn)題和函數(shù)進(jìn)行的有機(jī)的結(jié)合，綜合性較強(qiáng)，設(shè)計(jì)巧妙，對(duì)學(xué)生的解題能力要求較高．