Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：

1

2

S_n=a_n-1（n∈N^*）．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=1+log₂a_n，c_n=a_nb_n（n∈N^*），求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出a₁=2，

1

2

an=an-an-1，由此得到{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，從而能求出an=2n，n∈N^*．
（2）b_n=1+log₂a_n=1+log22n=n+1，c_n=a_nb_n=（n+1）•2ⁿ，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：

1

2

S_n=a_n-1（n∈N^*），①
∴n=1時(shí)，

1

2

a1=a1-1，解得a₁=2，
n≥2時(shí)，

1

2

S_n-1=a_n-1-1，②
①-②，得：

1

2

an=an-an-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴an=2n，n∈N^*．
（2）b_n=1+log₂a_n=1+log22n=n+1，
c_n=a_nb_n=（n+1）•2ⁿ，
∴Tn=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)•2n，③
2T_n=2×2²+3×2³+4×2⁴+…+（n+1）×2ⁿ⁺¹，④
③-④得：-T_n=2×2+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=4+

4(1-2n-1)

1-2

-(n+1)•2n+1
=-n•2ⁿ⁺¹，
∴Tn=n•2n+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．