Question

【題目】如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，，，點(diǎn)F為PB中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)．

（Ⅰ）求證：PD∥平面AFC；

（Ⅱ）若，求證：；

（Ⅲ）若二面角的大小為60°，則CE為何值時(shí)，三棱錐的體積為．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）連接,設(shè),底面是矩形,可知是的中點(diǎn),利用中位線的性質(zhì)、直線與平面平行的判定定理，可證出PD∥平面AFC；

（Ⅱ）由，，點(diǎn)F為PB中點(diǎn)，可知, 由PA⊥平面,可得,由四邊形是矩形,可知,這樣可以得到平面,因此可證出,這樣可以證出平面,這樣就可以證明出;

（Ⅲ）建立空間直角坐標(biāo)系,通過若二面角的大小為60°,可以求出點(diǎn)的坐標(biāo),由三棱錐的體積為,可以求出CE的長.

（Ⅰ）連接,設(shè),如下圖所示:

四邊形ABCD是矩形,所以是的中點(diǎn), F為PB中點(diǎn),所以有,

而平面,平面,由直線與平面平行的判定定理可知: PD∥平面AFC；

（Ⅱ）由，，所以是等腰三角形,點(diǎn)F為PB中點(diǎn)，所以有, 因?yàn)镻A⊥平面,而平面,于是有,

因?yàn)樗倪呅?/span>是矩形,所以,又平面, 平面,平面,所以,而 ,

所以平面,而平面,所以 ;

（Ⅲ）建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)，,

設(shè)平面的法向量為,則有

,而PA⊥平面,所以是平面的法向量，所以有，

，設(shè)，，

三棱錐的體積為，解得，

所以當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為．