【題目】已知四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=1,BC=2,又PB⊥平面ABCD,且PB=1,點(diǎn)E在棱PD上,且DE=2PE.
(Ⅰ)求異面直線PA與CD所成的角的大。
(Ⅱ)求證:BE⊥平面PCD;
(Ⅲ)求二面角A﹣PD﹣B的大。

【答案】解:(Ⅰ)取BC中點(diǎn)F,連接AF,則CF=AD,且CF∥AD,
∴四邊形ADCF是平行四邊形,∴AF∥CD,
∴∠PAF(或其補(bǔ)角)為異面直線PA與CD所成的角
∵PB⊥平面ABCD,∴PB⊥BA,PB⊥BF.
∵PB=AB=BF=1,∴AB⊥BC,∴PA=PF=AF=
∴△PAF是正三角形,∠PAF=60°
即異面直線PA與CD所成的角等于60°.
(Ⅱ)在Rt△PBD中,PB=1,BD= ,∴PD=
∵DE=2PE,∴PE=
,∴△PBE∽△PDB,∴BE⊥PD、
由(Ⅰ)知,CF=BF=DF,∴∠CDB=90°.
∴CD⊥BD、又PB⊥平面PBD,∴PB⊥CD、
∵PB∩BD=B,∴CD⊥平面PBD,∴CD⊥BE
∵CD∩PD=D,∴BE⊥平面PCD、
(Ⅲ)連接AF,交BD于點(diǎn)O,則AO⊥BD、
∵PB⊥平面ABCD,∴平面PBD⊥平面ABD,∴AO⊥平面PBD、
過(guò)點(diǎn)O作OH⊥PD于點(diǎn)H,連接AH,則AH⊥PD、
∴∠AHO為二面角A﹣PD﹣B的平面角.
在Rt△ABD中,AO=
在Rt△PAD中,AH=
在Rt△AOH中,sin∠AHO=
∴∠AHO=60°.
即二面角A﹣PD﹣B的大小為60°.

【解析】(1)由于直線PA與CD不在同一平面內(nèi),要把兩條異面直線移到同一平面內(nèi),做AF∥CD,異面直線PA與CD所成的角與AF與PA所成的角相等.(2)由三角形中等比例關(guān)系可得BE⊥PD,由于CD=BD=得 ,BC=2,可知三角形BCD為直角三角形,即CD⊥DB.同時(shí)利用勾股定理也可得CD⊥PD,即可得CD⊥平面PDB.即CD⊥BE,即可得證.(3)連接AF,交BD于點(diǎn)O,則AO⊥BD.過(guò)點(diǎn)O作OH⊥PD于點(diǎn)H,連接AH,則AH⊥PD,則∠AHO為二面角A﹣PD﹣B的平面角.

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