Question

設(shè)p：復(fù)數(shù)z=（1-2m）+（m+2）i在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二或第四象限；q：函數(shù)g（x）=x³+mx²+（m+

4

3

）x+6在R上有極大值點和極小值點各一個．求使“p且q”為真命題的實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：先根據(jù)復(fù)數(shù)的定義，函數(shù)導(dǎo)數(shù)在極值點處的取值情況求出命題p，q下的m的取值范圍，再根據(jù)p且q為真，對所得m的取值范圍求交集即可．

解答： 解：∵復(fù)數(shù)z=（1-2m）+（m+2）i在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二或第四象限，
∴（1-2m）（m+2）＜0，即m＜-2或m＞

1

2

．…（5分）
∵函數(shù)g(x)=x3+mx2+(m+

4

3

)x+6在R上有極大值點和極小值點各一個，
∴g′(x)=3x2+2mx+m+

4

3

=0有兩個不同的解，即△＞0．
由△＞0，得m＜-1或m＞4                           …（10分）
要使“p且q”為真命題，則p，q都是真命題，…（12分）
∴

m＜-2或m＞ 1 2 m＜-1或m＞4

， 解得m＜-2或m＞4．
∴m的取值范圍為（-∞，-2）∪（4，+∞）．                        …（14分）

點評：考查復(fù)數(shù)的定義，極值的概念，及導(dǎo)函數(shù)在極值點處的取值情況，p且q的真假和p，q真假的關(guān)系．