Question

【題目】已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中項(xiàng)．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)若bn＝，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，對(duì)任意正整數(shù)n，Sn＋(n＋m)an＋1<0恒成立，試求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】試題分析：（1）將已知條件轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的基本量來(lái)表示，通過(guò)解方程組得到其值，從而確定通項(xiàng)公式；（2）將數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式代入可求得，根據(jù)特點(diǎn)采用錯(cuò)位相減法求得前n項(xiàng)和，代入不等式Sn＋（n＋m）an＋1<0，通過(guò)分離參數(shù)的方法求得m的取值范圍

試題解析：（1）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，依題意，有，代入

可得，解得或，又?jǐn)?shù)列單調(diào)遞增，數(shù)列的通項(xiàng)公式為

（2）∵bn＝2n·＝－n·2n，

∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①

－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋（n－1）×2n＋n×2n＋1．②

①－②，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－n·2n＋1－2．

∵Sn＋（n＋m）an＋1<0，∴2n＋1－n·2n＋1－2＋n·2n＋1＋m·2n＋1<0對(duì)任意正整數(shù)n恒成立．

∴m·2n＋1<2－2n＋1對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，即m<－1恒成立．

∵－1>－1，∴m≤－1，即m的取值范圍是（－∞，－1]．