【題目】某工藝品廠要設(shè)計(jì)一個(gè)如圖1所示的工藝品，現(xiàn)有某種型號(hào)的長(zhǎng)方形材料如圖2所示，其周長(zhǎng)為4m，這種材料沿其對(duì)角線折疊后就出現(xiàn)圖1的情況．如圖，ABCD（AB＞AD）為長(zhǎng)方形的材料，沿AC折疊后AB'交DC于點(diǎn)P，設(shè)△ADP的面積為S2 ， 折疊后重合部分△ACP的面積為S1 ．

（Ⅰ）設(shè)AB=xm，用x表示圖中DP的長(zhǎng)度，并寫(xiě)出x的取值范圍；

（Ⅱ）求面積S2最大時(shí)，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)材料的長(zhǎng)和寬？

（Ⅲ）求面積（S1+2S2）最大時(shí)，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)材料的長(zhǎng)和寬？

【答案】（1）（2）當(dāng)材料長(zhǎng)為 ，寬為 時(shí)，S2最大．（3）當(dāng)材料長(zhǎng)為 ，寬為 時(shí)，S1+2S2最大

【解析】

試題分析：（1）設(shè)米，通過(guò)三角形全等以及勾股定，即可用表示圖中的長(zhǎng)度，并寫(xiě)出的取值范圍；

（2）表示面積，利用基本不等式求解最大值，即可求得材料的長(zhǎng)和寬的值；

（3）表示面積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值即可．

試題分析：

解：（Ⅰ）由題意，AB=x，BC=2﹣x，∵x＞2﹣x，∴1＜x＜2

設(shè)DP=y，則PC=x﹣y，由△ADP≌△CB'P，故PA=PC=x﹣y，

由PA2=AD2+DP2，得（x﹣y）2=（2﹣x）2+y2

即： .

（Ⅱ）記△ADP的面積為S2，則 ．

當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，S2取得最大值．

故當(dāng)材料長(zhǎng)為 ，寬為 時(shí)，S2最大．

（Ⅲ）

于是令 ，∴

∴關(guān)于x的函數(shù) 在 上遞增，在 上遞減，

∴當(dāng) 時(shí)，S1+2S2取得最大值．

故當(dāng)材料長(zhǎng)為 ，寬為 時(shí)，S1+2S2最大

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓C： 的離心率為 ，F(xiàn)是橢圓C的右焦點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)F且斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求n的值；
（2）若線段AB的垂直平分線在y軸的截距為 ，求k的值；
（3）是否存在點(diǎn)P（t，0），使得PF為∠APB的平分線？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，≌，，是線段的中點(diǎn)．

（1）求證：∥平面；

（2）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】近年來(lái)，某市為促進(jìn)生活垃圾的分類(lèi)處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類(lèi)，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾分類(lèi)投放情況，先隨機(jī)抽取了該市三類(lèi)垃圾箱總計(jì)1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下（單位：噸）；

“廚余垃圾”箱

“可回收物”箱

“其他垃圾”箱

廚余垃圾

400

100

100

可回收物

30

240

30

其他垃圾

20

20

60


（1）試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率；
（2）試估計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率；
（3）假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a，b，c，其中a＞0，a+b+c=600．當(dāng)數(shù)據(jù)a，b，c的方差s2最大時(shí)，寫(xiě)出a，b，c的值（結(jié)論不要求證明），并求此時(shí)s2的值．
（求：S2= [ + +…+ ]，其中 為數(shù)據(jù)x1 ， x2 ， …，xn的平均數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF= ， 則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是( )

(1) AC⊥BE.
(2) 若P為AA1上的一點(diǎn),則P到平面BEF的距離為.
(3) 三棱錐A-BEF的體積為定值.
(4) 在空間與DD1,AC,B1C1都相交的直線有無(wú)數(shù)條.
(5) 過(guò)CC1的中點(diǎn)與直線AC1所成角為40并且與平面BEF所成角為50的直線有2條.
A.0
B.1
C.2
D.3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的方程為 (θ為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度，直線的極坐標(biāo)方程.

(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，判斷直線與的關(guān)系；

(Ⅱ)當(dāng)上有且只有一點(diǎn)到直線的距離等于時(shí)，求上到直線距離為的點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F分別為AC、DC的中點(diǎn)．

（1）求證：EF⊥BC；
（2）求二面角E﹣BF﹣C的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】雙曲線x2﹣ =1（b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1 ， F2 ， 直線l過(guò)F2且與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．
（1）直線l的傾斜角為 ，△F1AB是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；
（2）設(shè)b= ，若l的斜率存在，且（ + ） =0，求l的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為，左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)。

（1）求橢圓的方程；

（2）當(dāng)的面積為時(shí)，求直線的方程。

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