Question

已知拋物線G：y²=2px（p＞0）與圓E：(x+

p

2

)2+y2=r2（r＞0），C，D拋物線上兩點，CD⊥x軸，且CD過拋物線的焦點F，EC=2

2

．
（1）求拋物線G的方程．
（2）過焦點F的直線l與圓E交于A，B兩不同點，試問△EAB是否存在面積的最大值，若存在求出相應直線的斜率，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由題意，EF=p，CF=p，利用EC=2

2

，求出p，即可求拋物線G的方程．
（2）設l：y=k（x-1），圓心E到直線l的距離為d，則AB=2

r2-d2

，表示出面積，利用配方法求最值，即可得出結論．

解答： 解：（1）由題意，EF=p，CF=p，
∴EC=

CF2+EF2

=

2

p，
∵EC=2

2

，
∴p=2，
∴拋物線G的方程為y²=4x；
（2）設l：y=k（x-1），圓心E到直線l的距離為d，則AB=2

r2-d2

，
S_△EAB=

1

2

AB•d=

r2d2-d4

=

-(d2- r2 2 )2+ r4 4

，
∴d=

2

2

r時，S_△EAB取得最大值

r2

2

，
∵d=

|2k|

1+k2

=

2

2

r＜r，
∴k²=

r2

8-r2

，
∴k=±r

1 8-r2

，
∴△EAB面積存在最大值

r2

2

，相應直線的斜率為=r

1 8-r2

．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查拋物線方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．