已知函數(shù).f(x)=
x1+ex
+ln(1+ex)-x.
(I)求證:0<f(x)≤ln2;
(II)是否存在常數(shù)a使得當(dāng)x>0時(shí),f(x)>a恒成立?若存在,求a的取值范圍,若不存在,說明理由.
分析:(I)求出函數(shù)f(x)=
x
1+ex
+ln(1+ex)-x導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的最值,求出最值即可證明本題.
(II)由(I)的證明,即可得出參數(shù)a存在,且a的取值范圍易得,
解答:(I)證明:∵f(x)=
x
1+ex
+ln(1+ex)-x.
∴f′(x)=
1+ex-xex
(1+ex)2
+
ex
1+ex
-1
=
-xex
(1+ex)2

∴當(dāng)x<0,f′(x)>0;
當(dāng)x>0,f′(x)<0;
故函數(shù)在x<0時(shí)是增函數(shù),在x>0時(shí)是減函數(shù),其最大值是f(2)=ln2
又x>0時(shí),f(x)=
x
1+ex
+ln(1+ex)-x>
x
1+ex
+ln(ex)-x=
x
1+ex
>0;當(dāng)x<0時(shí),顯然有f(x)>0
故有0<f(x)≤ln2;
(II)解:由(I)的證明知,0<f(x)≤ln2,故存在a≤0,使得當(dāng)x>0時(shí),f(x)>a恒成立.
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系,以及函數(shù)最值的定義求出最值,本題中利用求出最值證明不等式,形式新穎.
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已知函數(shù)y=f(x)的反函數(shù).定義:若對給定的實(shí)數(shù)a(a≠0),函數(shù)y=f(x+a)與y=f-1(x+a)互為反函數(shù),則稱y=f(x)滿足“a和性質(zhì)”;若函數(shù)y=f(ax)與y=f-1(ax)互為反函數(shù),則稱y=f(x)滿足“a積性質(zhì)”.
(1)判斷函數(shù)g(x)=x2+1(x>0)是否滿足“1和性質(zhì)”,并說明理由;
(2)求所有滿足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù);
(3)設(shè)函數(shù)y=f(x)(x>0)對任何a>0,滿足“a積性質(zhì)”.求y=f(x)的表達(dá)式.

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17、已知函數(shù)y=f(x)和y=g(x)在[-2,2]的圖象如圖所示,則方程f[g(x)]=0有且僅有
6
個(gè)根;方程f[f(x)]=0有且僅有
5
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(2012•上海)已知函數(shù)y=f(x)的圖象是折線段ABC,其中A(0,0)、B(
1
2
,5)、C(1,0),函數(shù)y=xf(x)(0≤x≤1)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為
5
4
5
4

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已知函數(shù)y=f(x),x∈R,有下列4個(gè)命題:
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②y=f(x-2)與y=f(2-x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱;
③若y=f(x)為偶函數(shù),且y=f(2+x)=-f(x),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱;
④若y=f(x)為奇函數(shù),且f(x)=f(-x-2),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.
其中正確命題的個(gè)數(shù)為( 。

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