Question

（2010•汕頭模擬）如圖，多面體AEDBFC的直觀圖及三視圖如圖所示，M，N分別為AF，BC的中點(diǎn)．
（1）求證：MN∥平面CDEF；
（2）求多面體A-CDEF的體積．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)三視圖說(shuō)明幾何體的特征，證明MN平行平面CDEF內(nèi)的直線BC，即可證明MN∥平面CDEF；
（2）說(shuō)明四邊形 CDEF是矩形，AH⊥平面CDEF，然后就是求多面體A-CDEF的體積．

解答：解：（1）證明：由多面體AEDBFC的三視圖知，三棱柱AED-BFC中，底面DAE是等腰
直角三角形，DA=AE=2，DA⊥平面ABEF，側(cè)面ABFE，ABCD都是邊長(zhǎng)為2的正方形． 
連接EB，則M是EB的中點(diǎn)，
在△EBC中，MN∥EC，
且EC?平面CDEF，MN?平面CDEF，
∴MN∥平面CDEF．
（2）因?yàn)镈A⊥平面ABEF，EF?平面ABEF，∴EF⊥AD，
又EF⊥AE，所以，EF⊥平面ADE，
∴四邊形 CDEF是矩形，
且側(cè)面CDEF⊥平面DAE
取DE的中點(diǎn)H，∵DA⊥AE，DA=AE=2，∴AH=

2

，
且AH⊥平面CDEF．
所以多面體A-CDEF的體積V=

1

3

SCDEF•AH=

1

3

DE•EF•AH=

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查直線與平面平行的證明方法，幾何體的體積的求法，考查計(jì)算能力．