Question

5．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱長為$2\sqrt{3}$，在底面△ABC中，∠C=60°，$AB=\sqrt{3}$，則此直三棱柱的外接球的表面積為（　�。�

• A． $4\sqrt{3}π$
• B． $\frac{16π}{3}$
• C． 16π
• D． $\frac{32π}{3}$

Answer 1

分析 由題意可知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC的小圓半徑為1，連接兩個底面中心的連線，中點與頂點的連線就是球的半徑，即可求出球的表面積．

解答 解：由題意可知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面小圓ABC的半徑為$\frac{\sqrt{3}}{2•\frac{\sqrt{3}}{2}}$=1，
連接兩個底面中心的連線，中點與頂點的連線就是球的半徑，外接球的半徑為：$\sqrt{3+1}$=2，
外接球的表面積為：4π•2²=16π．
故選C．

點評 本題是中檔題，考查直三棱柱的外接球的表面積的求法，解題的關(guān)鍵是外接球的半徑，直三棱柱的底面中心的連線的中點與頂點的連線是半徑，考查空間想象能力．