Question

如圖：已知PA與圓O相切于點(diǎn)A，經(jīng)過點(diǎn)O的割線PBC交圓O于點(diǎn)B，C，∠APC的平分線分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，．點(diǎn)G是線段ED的中點(diǎn)，AG的延長(zhǎng)線與CP相交于點(diǎn)F．
（Ⅰ）證明：AF⊥ED；
（Ⅱ）當(dāng)F恰為PC的中點(diǎn)時(shí)，求

PB

PC

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：立體幾何

分析：（Ⅰ）由弦切角定理得∠PAB=∠C，由角平分線性質(zhì)得∠APE=∠CPE，從而∠ADE=∠AEP，由此能證明AF⊥ED．
（Ⅱ）由切割線定理得PA²=PB•PC，從而得到

1

4

PC2=PB•PC，由此能證明

PB

PC

=

1

4

．

解答： 選修4-1：幾何證明選講
（Ⅰ）證明：如圖，直線PA與圓O相切于點(diǎn)A，
∴由弦切角定理得∠PAB=∠C，
∵∠APC的平分線分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，∴∠APE=∠CPE，
∵∠ADE=∠PAB+∠APE，∠AEP=∠C+∠CPE，
∴∠ADE=∠AEP，
∵G是DE的中點(diǎn)，∴AF⊥ED．
（Ⅱ）∵直線PA與圓O相切于點(diǎn)A，
∴PA²=PB•PC，
∵PA=PF=

1

2

PC，
∴

1

4

PC2=PB•PC，∴PC=4PB，
∴

PB

PC

=

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩線段垂直的證明，考查兩線段比值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意弦切角定理和切割線定理的合理運(yùn)用．