Question

已知點(diǎn)（2，3）在雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上，雙曲線C的焦距為4．求
（Ⅰ）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）雙曲線的實(shí)軸長和虛軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由雙曲線C的焦距為4，則c=2，可得a，b的方程，再由點(diǎn)（2，3）代入雙曲線方程，可得a，b的又一方程，解得a，b，即可得到雙曲線的方程；
（Ⅱ）求得雙曲線x²-

y2

3

=1的a=1，b=

3

，c=2，e=

c

a

=2，即可得到雙曲線的實(shí)軸長和虛軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程．

解答： 解：（Ⅰ）由雙曲線C的焦距為4，則c=2，
即有a²+b²=4，
又

4

a2

-

9

b2

=1，
解得a=1，b=

3

，
即有雙曲線的方程為x²-

y2

3

=1；
（Ⅱ）雙曲線x²-

y2

3

=1的a=1，b=

3

，c=2，e=

c

a

=2，
則雙曲線的實(shí)軸長為2，虛軸長為2

3

，
焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），（2，0），離心率為2，漸近線方程為y=±

3

x．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的方程的求法，考查雙曲線的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．