A. | $\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{5}}{2}$ | B. | $\frac{\sqrt{3}}{3}$,$\frac{\sqrt{6}}{2}$ | C. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{6}}{2}$ | D. | $\frac{\sqrt{2}}{4}$,$\sqrt{3}$ |
分析 設出橢圓與雙曲線的標準方程分別為:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$(a>b>0),$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{_{1}}^{2}}=1$(a1>0,b1>0),利用定義可得:m+n=2a,m-n=2a1,解出m,n.利用余弦定理可得關(guān)于e1,e2的等式,再由基本不等式求得當e1e2取最小值時,e1,e2的值.
解答 解:不妨設橢圓與雙曲線的標準方程分別為:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$(a>b>0),$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{_{1}}^{2}}=1$(a1>0,b1>0),
設|PF1|=m,|PF2|=n.m>n.
則m+n=2a,m-n=2a1,
∴m=a+a1,n=a-a1.
cos$\frac{π}{3}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-4{c}^{2}}{2mn}=\frac{1}{2}$,
化為:$(a+{a}_{1})^{2}+(a-{a}_{1})^{2}-4{c}^{2}$=(a+a1)(a-a1).
∴${a}^{2}+3{{a}_{1}}^{2}$-4c2=0,
∴$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}=4$,
∴4≥2$\sqrt{\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}•\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}}$,則$\frac{1}{{e}_{1}{e}_{2}}≤\frac{2}{\sqrt{3}}$,即${e}_{1}{e}_{2}≥\frac{\sqrt{3}}{2}$,當且僅當e1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,e2=$\frac{\sqrt{6}}{2}$時取等號.
故選:C.
點評 本題考查了橢圓與雙曲線的定義標準方程及其性質(zhì)、余弦定理、基本不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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A. | c>a>b | B. | b>a>c | C. | a>b>c | D. | b>c>a |
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A. | 充要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充分不必要條件 | D. | 既不充分又不必要條件 |
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