已知|
a
|=4，|
b
|=3，(2
a
-3
b
)(2
a
+
b
)=61，
（1）求
a
與
b
的夾角θ；
（2）求|
a
+
b
|；
（3）若
AB
=
a
，
BC
=
b
，求△ABC的面積．
分析：（1）根據(jù)兩個向量的數(shù)量積的值，把這兩個向量展開寫出有關向量的模長和數(shù)量積的表示式，得到兩個向量的數(shù)量積，代入求夾角的公式得到夾角的余弦值，求出夾角．
（2）利用模長公式做出求模長，這是一個公式的應用．
（3）做出兩個向量的夾角，做出三角形的內(nèi)角，用正弦定理寫出三角形的面積的表示形式，代入模長和夾角得到結(jié)果．
解答：解：（1）∵(2
a
-3
b
)(2
a
+
b
)=61，∴4|
a
|2-4
a
•
b
-3|
b
|2=61，
又|
a
|=4，|
b
|=3，∴64-4
a
•
b
-27=61，∴
a
•
b
=-6，
∴cosθ=
a•b
|a||b|
=
-6
4×3
=-
1
2

又0≤θ≤π，
∴θ=
2π
3

（2）|a+b|=
(a+b)2
=
|a|2+2a•b+|b|2
=
13

（3）∵
AB
與
BC
的夾角θ=
2π
3
，
∴∠ABC=π-
2π
3
=
π
3

又|
AB
|=|a|=4，|
BC
|=|b|=3
∴S△ABC=
1
2
|
AB
||
BC
|sin∠ABC=
1
2
×4×3×
3
2
=3
3
點評：本題考查向量的夾角模長和正弦定理的應用，本題解題的關鍵是對于所給的表示式的整理，得到要用的數(shù)量積．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知|
a
|=4，|
b
|=
3
，
a
•
b
=6，求
（1）(
a
-
b
)•
b
；
（2）求|
a
+
b
|．
（提示：|
a
|2=
a
•
a
）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a=4，b=2，且焦點在x軸上的橢圓標準方程為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

△ABC中，已知a=4，∠B=45°，若解此三角形時有且只有唯一解，則b的值應滿足
b＞4或b=2
2
b＞4或b=2
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知|
a
|=4，|
b
|=3，(2
a
-3
b
)•(2
a
+
b
)=61，
求（1）
a
與
b
的夾角
（2）|
a
+
b
|的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知|
a
|=4，|
b
|=3，（2
a
-3
b
）•（2
a
+
b
）=61．
（1）求
a
與
b
的夾角為θ；
（2）求|
a
+
b
|；
（3）若
AB
=
a
，
AC
=
b
，作三角形ABC，求△ABC的面積．

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